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'VVu^S 3310. l'iS.
HARVARD
COLLEGE
LIBRARY
(■■S^f^#f']
^THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE
MAXWELL
kET SON APPLICATION AOX CORPS MOUVANTS J
Profesmir à l'Univermlê de Lm.de..
ffixtraît den Arf-lii'ivM nê^landaw.H de» Srimtes i-xiirU'» et
nalurelks, T. XXV,)
Lëidk,
E. J, BRILL.
LA THÉORIE KLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL
ET SON APPLICATION AUX CORPS MOUVANTS.
PAR
H. A. LOBENTZ.
A.
fi
ri
Introduction.
Hypothèses fondamentales.
§ 1. Dans un des plus beaux chapitres de son Traité de
rélectricité et du magnétisme, Maxwell fait voir comment
les principes de la mécanique peuvent servir à élucider les
questions d'électrodynamique et la théorie des courants induits,
sans qu'il soit nécessaire de pénétrer le secret du mécanisme
qui produit les phénomènes. L'illustre savant se borne à un
petit nombre d'hypothèses, que tous les physiciens connaissent
et dont on me permettra de rappeler ici les principales.
Les anciennes théories opéraient avec un ou deux fluides
électriques, qui seraient en repos dans les phénomènes élec-
trostatiques et dont le déplacement constituerait un courant.
Maxwell admet également que les systèmes dont on s'occupe
en électrostatique se trouvent en repos et que ceux où il y
a des courants sont le siège d'un véritable mouvement; mais,
selon lui, ce dernier n'est pas simplement le déplacement
d'une matière électrique et ce qui se passe dans les filscon-
diïcteurs ne constitue pas le mouvement entier.
C'est là un point d'une importance fondamentale. On sait
que Maxwell^ en suivant la voie tracée par Faraday ^ cherche
\ expliquer par Tintervention du milieu toutes les actions qui
1
f
2 H. A. LORENTSi.
semblent s'exercer à distance, le milieu étant tantôt Téther
i qui transmet les vibrations de la lumière, tantôt un corps
, pondérable. Si des fils de métal sont parcourus par des cou-
rants électriques^ les particules du milieu ambiant sont ani-
mées d'un certain mouvement, que j'appellerai le mouvement
électromagnétique et qui consiste probablement en une rotation
autour des lignes de force magnétique. Selon Maxwell, la force
vive de ce mouvement est précisément l'énergie électromagné-
tique dont, indépendamment de^ toute théorie, les expériences
ont révélé l'existence et fixé la valeur et que la théorie répartit
d'une manière déterminée sur les différentes parties de l'espace.
^Remarquons, dès à présent, que dans un même élément de
volume un courant électrique et un mouvement électroma-
gnétique peuvent exister simultanément.
§ 2. Dans une autre hypothèse de Maxwell il est question
des liaisons entre les différentes parties du système mobile.
Figurons-nous un certain nombre de circuits linéaires qui se
déplacent d'une manière quelconque et supposons pour un
• ^ moment qu'il n'y ait aucun courant électrique. Si les fils
conducteurs sont entourés d'un milieu pour lequel ils ne sont
pas parfaitement perméables, leur mouvement donnera lieu à
un déplacement de ce milieu; en outre, dans une théorie
générale, il faudrait admettre que des corps quelconques, placés
dans le voisinage des conducteurs, peuvent se mouvoir indé-
pendamment de ces derniers. Toutefois, pour simplifier, je me
bornerai au cas où, tant qu'il n'y a pas. de courants, le mou-
vement du système entier est connu, lorsque celui des circuits
est donné.
^ Si maintenant, sans rien changer au mouvement des con-
ducteurs, on y établit des courants électriques, les choses se
compliqueront davantage : outre les mouvements qui existaient
déjà, ceux que nous avons appelés „ électromagnétiques"
prendront naissance. Je désignerai par P les points matériels qui
prennent part à ce nouveau phénomène et je supposerai que,
pour un certain moment t^, on connaisse la position de chacune
Là THlioRIK ELECTROMAGNiiTIQUE DE MAXWELL. S
circuit et celle de tous les points P. (Jela posé, Thypothèse
de Maxwell peut être exprimée en ces termes:
En vertu des liaisons qui existent dans le système, les posi-^
tions des points P à un instant ultérieur t sont entièrement
déterminées dès qu'on connaît les nouvelles positions des cir-
cuits et, pour chacun dVux, la quantité d'électricité qui, entre
les moments t^ et <, a traversé une section.
Cette quantité d'électricité est ici regardée comme une somme
algébrique, les signes -f- et — étant employés pour indiquer
si l'électricité se déplace dans un sens ou dans l'autre. Lorsque V^
i est l'intensité d'un courant prise avec un signe qui en déter-
mine la direction, la quantité dont je viens de parler peut
être représentée par l'intégrale i idt et l'hypothèse elle-
J tf^
même revient à ce qui suit:
(A). Si deux mouvements différents du système s'accordent ^^'^'
en ce qui concerne la position primitive du système tout en-
tier, la position finale des circuits conducteurs et les valeurs
des intégrales \idt^ ces deux mouvements conduiront aux
mêmes positions finales des points P.
Un état de repos peut être envisagé comme un cas parti-
culier de mouvement. Or, un tel état, sans aucun courant
électrique, peut être substitué à l'un des deux mouvements
dont il vient d'être question; pour que cela soit permis, il
suffit que dans l'autre mouvement toutes les intégrales \idt
s'annulent et que ce mouvement reconduise les circuits à leurs
positions initiales. On arrive ainsi à cette conséquence:
(B). Si, à la suite de déplacements quelconques, tous les
circuits se retrouvent dans leurs positions primitives et que,
dans le cours de ces déplacements, chaque section ait été
traversée dans les deux directions opposées par des quantités
égales d'électricité — c'est-à-dire si pour chaque circuit |îd< = 0
1*
4 îï. A. LORENTZ.
— toutes les particules qui prennent part aux mouvements élec-
tromagnétiques se retrouveront dans leurs positions primitives.
Du reste, cet énoncé n'est pas seulement une conséquence
de rhypothése (A); Tinverse a également lieu. Un raisonne-
ment bien simple conduit à la proposition (A) si ou prend
pour point de départ l'assertion (B). Pour abréger ce raison-
nement, je désignerai par la lettre Î7 les positions des circuits
et par W celles des points P.
Remarquons d'abord que la proposition (B) conduit immé-
diatement au corollaire suivant: Si, dans un certain mouve-
ment, les circuits et les points P ont les positions initiales
[7 et W et les positions finales V et W\ tandis que les in-
tégrales \ idi ont les valeurs f, le renversement du mouvement
des circuits, c'est-à-dire le déplacement f/' — ► [7, lorsqu'il est
accompagné de courants tels que j idt z= — f, impliquera
nécessairement le déplacement W — ► W,
Cela posé, çn peut considérer deux mouvements I et II
qui commencent avec les mêmes positions U^ et W^ et qui
aboutissent, le premier aux positions Î7, et W^y le second
aux positions f/, et W\y l'intégrale lid^ ayant, pour chaque
circuit, la même valeur t dans les deux cas. Or, en com-
mençant par les positions f/, et fF,, on peut d'abord renverser
le mouvement I, ce qui rétablit les positions Uq et IF„, et
on peut faire suivre le mouvement II, ce qui conduit aux
positions C/, et W/. Les circuits se retrouvent alors dans
leurs positions primitives f7, et une section d'un d'entre eux
a été traversée d'abord par la quantité d'électricité — t vi
ensuite par la quantité -h f. La proposition (B) exige donc
que les positions W^ et PF, ' coïncident et voilà précisément
ce que Maxwell suppose dans la proposition {A).
Cette hypothèse, qu'on peut à volonté présenter sous l'une
ou l'autre des formes {A) et (B), a un défaut. C'est qu'il est
4
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 5
difficile d'iraaginer un système matériel dans lequel les choses y
se passent de la manière , supposée. Cependant, elle ne semble
contenir rien d'impossible. C'est du reste un point sur lequel
je reviendrai.
Après avoir posé les principes que je viens de résumer,
Maxwell applique les équations de Ldgrange; il arrive ainsi
à des formules bien connues pour les forces électrodynami-
ques et pour rinduction des courants. Les forces extérieures ^
qui entrent en jeu sont d'abord des forces ordinaires qu'on
fait agir sur la matière pondérable des conducteurs, en second
lieu les forces électromotrices telles qu'elles existent dans les
éléments voltaïques et les couples thermoélectriques, enfin la
résistance qui s'oppose au mouvement de l'électricité et qui
peut être comparée à un frottement.
§ 3. Les équations qui déterminent les mouvements de l'é-
lectricité dans des corps à trois dimensions ne résultent pas,
dans le livre de Maxwell^ d'une application directe des lois
de la mécanique; elles reposent sur les résultats qui ont été
obtenus pour les conducteurs linéaires. '
De plus, elles n'ont pas la forme la plus simple que l'on ,-
puisse leur donner; il est même difficile d'y voir clair, à-r
cause d'un certain nombre de quantités auxiliaires qu'on en
peut éliminer. C'est ce qu'a remarqué, il y a déjà quelques
années. M. Heaviside ')• Récemment, M. Het'tz^) a repris le
problème; il a établi, d'abord pour des systèmes en repos,
et ensuite pour des corps mobiles, un système d'équations,
de forme très-simple, qui peuvent rendre compte des phéno-
mènes observés.
Il y a une différence essentielle entre la méthode de M,>^
*) Heaviside, On thc self-induction of wires^ dans Phil, Mag., bth ser,,
vol, 22, 29. 118 (1886).
*) Hertz, Ueher die Grundgleichungen der Electrodynamik fur ruhende
Kôrper^ dans Wied, Ann,^ Bd. 40, p. 577 (1890); Ueher die Grundgleichungen
der Electrodynamik fiir bewegte Kôrper^ Wied. 4nn., Bd. 41,|).369(1890).
6 H. A. LOBBNTZ.
Hertz et celle de Maxwell M. Hertz ne s'occupe guère d'un
rapprochement entre les actions électromagnétiques et les
lois de là mécanique ordinaire. Il se contente d'une de-
scription succincte et claire, indépendante de toute idée pré-
^ conçue sur ce qui se passe dans le champ électromagnétique.
Inutile de dire que cette méthode a ses avantages.
Cependant, on est toujours tenté de revenir aux explica-
^ tiens mécaniques. C'est pourquoi il m'a semblé utile d'appliquer
directement au cas le plus général la méthode dont Maxwell
a donné l'exemple dans son étude des circuits linéaires. J'avais
encore un autre motif pour entreprendre ces recherches.
Dans le mémoire où M. Hertz traite des corps en mouvement,
il admet que l'éther qu'ils contiennent se déplace avec eux.
•-^Or, des phénomènes optiques ont depuis longtemps démontré
'^ qu'il n'en est pas toujours ainsi. Je désirais donc connaître
les lois qui régissent les mouvements électriques dans des
corps qui traversent l'éther sans l'entraîner, et il me semblait
diflBcile d'atteindre ce but sans avoir pour guide une idée
théorique. Les vues de Maxwell peuvent servir de fondement
à la théorie cherchée. Toutefois, avant d'aborder les questions
qui m'intéressaient plus spécialement, j'ai cru devoir consi-
dérer les cas que M. Hertz a aussi étudiés ').
•) Après II voir achevé co Mémoire, j'ai lu une publication récente de
M. BollzmcuDi, intitulée: » Vorlcaungen ûber Maxwell s Théorie der FAec-
IriciUll und des Lichtes'' {bf Theil, Ahleitung der Grundgleichiiuyen fur
ruhende^ homogène, isotrojtc Kôrper) dont l'objet principalest l'explication
mécanique inaugurée par Maxwell, Bien que nous ayons été guidés, M.
Boltzntann et moi, par la même idée fondamentale et que plusieurs de
nos résultats soient équivalents, nous avons souvent employé des méthodes
différentes et les questions que nous avions en vue n'étaient pas en géné-
ral les marnes r
LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 7
Le 'principe de â! Alembert,
§ 4. Conime je me servirai à plusieurs reprises du prin-
cipe de d^ Alembefi^ty je commencerai par lui donner une forme
propre aux applications spéciales que je me propose.
Considérons un système matériel dont les points sont as-
sujettis à certaines liaisons, En vertu de ces deriiières le
système ne peut pas prendre toutes les positions ou configu-
rations imaginables, et, une position déterminée étant donnée,
les points matériels ne peuvent pas recevoir des déplacements
arbitrairement choisis. Je nommerai m, , m,, ... les masses de
ces points, x^, y,, z,, x^, i/.^, z^y . , leurs coordonnées, Xj,
F,, Z, , J5lj, V^j Z.^ .. , les composantes des forces auxquelles
ils se trouvent soumis, et je supposerai que toutes les variations
infiniment petites ôx^, âj/,, &,, to^,... qui peuvent avoir
lieu à partir d'une position déterminée par :r,, y,, 2; j, 0:2,3/2,22 »•••
satisfont à un système d'équations homogènes et linéaires:
a , ù\t , 4- 6 , (J y , -H c , (J z , H- a^ d' a:* j H- . . . . = 0 j
a/ 5 a;, -h 6,' (J y, -h c/ Sz, -^ a^' S x^ -{-.., .=:zO . . . . .(1)
Les coefficients a, 6, c dépendront de la position, c'est-à-dire
des coordonnées ^, y, z, mais je supposerai que le temps < n'y '
entre pas explicitement.
J'indiquerai par i,, y,, z^^ r^, . ... les vitesses et par
r,, 2/,, z^y ar^,... les accélérations des points matériels dans
le mouvement qu'on étudie. Alors le principe de d^Alembert exige
que l'on ait:
2:{Xôx-h Y5y -^ Zdz) = 2;m{xôX'^y dy -^zdz)
pour toutes les valeurs des variations qui sont compatibles
avec les conditions (1).
La dernière îformule peut être mise sous la forme:
•• •• ••
ôA=2^m{xôX'^ydy-\'zdz)j (2)
(^ A étant le travail des forces qui correspond aux déplacements
virtuels ôx^ tfy, ôt^.
■s
8 H. A. LORENTZ.
§ 5. L'équation renferme seulement les valeurs de ces dé-
placements relatives au temps t. On peut cependant attribuer
une variation infiniment petite non seulement à la position
qu'occupe le système à cet instant, mais aussi aux autres
positions qui se succèdent dans le cours du mouvement réel.
Les variations des coordonnées doivent dans ce cas être con-
sidérées comme des fonctions de t, fonctions que je supposerai
continues, et on peut imaginer un mouvement dans lequel le
système prend à chaque instant la position variée dont il
vient d'être question. Ce nouveau mouvement sera nommé le
rnouvement varié. La variation que subit une fonction quelconque
des coordonnées et des vitesses, si, en laissant le temps con-
stant, on passe du mouvement réel au mouvement varié,
sera désignée par le signe d.
Mettons l'équation (2) sous la forme:
SA = — 2:m{x5x -i-yày -^zdz) —2m{x-^j ^y-^^z—)
et représentons par T l'énergie cinétique du système
.2 .2 ,2
2: \m{x 4-2/ + z ).
Comme on a
on trouve
dix ^ • ddy ., • dS z
dt ' dt ^' dt '
^ / •dd X • ddy 'd dz\ ^ ^
D'autre part, l'expression
• • •
2m{xdX'\-ySy'hzdz)
est évidemment la variation qu'on donnerait à T si on imposait
• • • •
l aux vitesses a;, y, z les variations ô Xy ô y, d z que subissent
en réalité les coordonnées. En indiquant par 5' T cette vari-
ation de T, on trouve
8A=z^^—8T. (3)
CL t
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 9
Dénominations et signes mathématiques employés
dans ce m,êmmre.
§ 6. a. La direction d'une rotation dans un plan et la direc-
tion d'une normale à ce même plan seront dites correspondre
Tune à l'autre si le premier mouvement est opposé à celui des
aiguilles d'une montre posée sur le plan et ayant le cadran
tourné vers le même côté que la normale.
b. Les axes des coordonnées, OX, OY, OZ, seront choisis
de manière que la direction de OZ corresponde à celle d'une
rotation de 90'' de OX vers OY,
c. Un espace, une surface et une ligne seront désignés res-
pectivement par r, (T, et s, les parties infiniment petites dans
lesquelles ils peuvent être divisés par dr, da^ ds,
d. La normale à une surface quelconque a sera toujours
dirigée vers un côté déterminé qu'on nommera le côté positif.
Dans le cas d'une surface limitée, la direction de la normale
et la direction positive le long du contour s seront liées l'une
à l'autre par la règle suivante:
Dans un point P de la surface, tout près du bord, la direc-
tion de la normale doit correspondre à celle de la rotation que
subit la ligne PQ si le point Q parcourt dans le sens positif
la partie du contour qui se trouve dans le voisinage de P,
e. La normale à une surface sera toujours désignée par la
lettre n, et une direction quelconque dans le plan tangent
par la lettre h.
f. Nous aurons à considérer un grand nombre de fonctions
qui dépendent des coordonnées x, y, z et peuvent dépendre
en outre du temps t. La distribution d'une telle fonction, c'est-
à-dire la manière dont elle varie d'un point à l'autre, sera
déterminée par des équations de deux sortes, les unes rela-
tives aux points de l'espace, c'est-à-dire à tous les points où
il n'y a aucune discontinuité, et les autres relatives aux points
des surfaces qui séparent deux corps ou milieux différents
çt où des discoijtinuités peuvent se présenter.
10 H, A LORBNTZ.
Pour distinguer dans ces dernières équations les quantités
qui se rapportent au premier ou au second corps, on fera
usage des indices 1 et 2. Ainsi la continuité à\\ne fonction
(jp sera exprimée par Péquation :
La normale sera toujours dirigée vers le côté qui est indiqué
par rindice 2.
g. Un vecteur sera représenté en général par une lettre
grasse et la composante d'un vecteur A suivant la direction
l par le signe A/.
Pour connaître la distribution d'un vecteur A il faut que
Ton connaisse la distribution des trois composantes A^, Ay, A^.
Un vecteur aux composantes X, F, Z sera aussi représenté
par le signe (X, F, Z).
h. La distribution d'un vecteur A sera dite solmoïdale lorsque
dans tous les points de l'espace les composantes sont égales
à celles de la vitesse dans un mouvement possible d'un fluide
incompressible. Pour qu'il en soit ainsi, il faut que
0 Aa; d A» d kz
+ ^/ -h —;; = 0
d X d y d z
et (AJ,= (AJ,.
i. L'intégrale
fA da
J »
sera nommée l'intégrale du vecteur A étendue à la surface (t,
et par l'intégrale du vecteur prise le long d'une ligne s on
entendra l'expression
fi^ds.
i
y. Le signe A aura la signification suivante:
d'' 0> 0
2
^""■"0"a;î '^ d y^ '^ i z' '
k. L'expression
M (=) iV
signifiera que les quantités M et N sont du môme ordre de
grandeur.
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 11
CHAPITRE I.
Mouvements électriques dans des corps qui
se trouvent en repos.
Valeur de l'énergie cinétique.
§ 7. Considérons un système quelconque de corps, conduc-
teurs ou diélectriques, homogènes et isotropes ou non et
remplissant l'espace infini, l'un d'entre eux pouvant être Téther
de l'optique. Dans tous ces corps, même, suivant les idées de
Maxwell, dans l'éther, le phénomène qu'on appelle un courant
électrique peut avoir lieu. Le courant mesuré en unités élec-
tromagnétiques sera représenté par C, et pour abréger j'écrirai
u, V, w, au lieu de Cj-, Cy, Cz. Avec Maxwell je supposerai
que la distribution du courant est toujours solénoïdale. Il faut
donc que Ton ait:
du d V d W ^ ...
-h ^T7 +-TT- = 0 (4)
dxdydz
et (C«),=(C»)2 (5)
§ 8. L'explication des phénomènes d'induction au moyen
de la masse des particules qui prennent part aux mouvements
électromagnétiques constitue un des traits caractéristiques de
la théorie de Maxwell. Or, dans l'équation (3) qui exprime le V
principe de d'Alemberty la masse des points matériels est im-
plicitement renfermée dans le second membre; on est donc
amené à considérer en premier lieu la valeur de l'énergie
cinétique T dans un système où il y a des courants électriques.
Suivant Maxwell, cette énergie n'est autre chose que celle
désignée par le nom d'énergie électromagnétique. La valeur
en peut être calculée au moyen de deux vecteurs qu'on appelle
la /brce magnétique et Vînduction magnétique,
I^a force magnétique et ses composantes seront représen-
tées par H, «, 1^, /, l'induction magnétique et ses composantes
par 0, o, 6, ç.
J2 H. A. LORENTZ.
§ 9. Voici les propriétés de ces deux vecteurs qui servent
à les déterminer dès qu'on connaît la distribution du courant
électrique :
1. La distribution de Tinduction magnétique est solénoïdale.
2. Kintégrale de la force magnétique, prise le long du con-
tour d'une surface limitée quelconque, est égale au produit par
4 TT de rintégrale du courant électrique étendue à cette surface.
3. A chaque point de l'espace les deux vecteurs sont liés
Tun à l'autre par des équations linéaires :
bzr:: u^ a 4- a 3 -^ u /, s (6)
dans lesquelles on a toujours:
Les coefficients ,a sont des constantes dépendant des pro-
priétés magnétiques du corps dont il s'agit; ils peuvent varier
d'un point à l'autre. Dans un corps isotrope, ^^ ^., it et
u^ ^ ont une valeur commune u et les autres coefficients sont
nuls. Dans l'éther on a ,a = 1 ; les deux vecteurs H et B se
confondent par suite en un seul.
En adoptant les équations (6) nous avons exclu les cas où
l'aimantation n'est pas proportionnelle à la force magnétique
et ceux où il y a du magnétisme permanent.
Quant aux propriétés de l'induction et de la force magné-
tiques que je viens de rappeler, elles se traduisent par les
formules suivantes:
d a dh d c ^ /o\
0^+07 + ^^=^' ^^^
(B„),=(B„)„ (9)
Zy 3/î . 0« dy . \
. ^ = 4 TT M, ■::— — -r— =: 4 îr t), 1
Z y c z d z D X I
•
(»0)
d X d y I
(Ha), =(H/s)î (U)
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 13
Par un artifice mathématique que je passerai sous silence
on démontre que les vecteurs B et H sont complètement
déterminés par les conditions 1, 2 et 3.
§ 10. Une fois la force et Tinduction magnétiques connues,
l'énergie cinétique est donnée par la formule:
T= ~f {aa^b§-Ï^Cy)dT (12)
L'expression — {a a -\- b ^ -i- c y) d r représente Ténergie
OTT
cinétique qui se trouve dans Télément dr.
Cette manière de voir implique deux conditions. Il faut
d'abord que la force et Tinduction magnétiques aient une
telle signification physique qu'elles puissent déterminer le
mouvement électromagnétique dans chaque élément de volume.
En second lieu, les coefficients ii dans les équations (6) doivent
être tels que Texpression aa-hb^-hcy soit toujours positive.
Dans tous les cas connus cette condition est satisfaite.
L'intégrale (12) doit être étendue à l'espace infini, et il en
sera de même de plusieurs autres intégrales que nous ren-
contrerons. Je supposerai que toutes les fonctions qui servent
à déterminer un dérangement de l'état naturel du système,
telles que u, v, w^ «, (?, /, a, b, c, sont nulles à l'infini, et qu'à
une grande distance elles diminuent même si rapidement que
des intégrales telles que celle de l'expression {12) restent finies.
J'aurai plusieurs fois à appliquer l'intégration par parties
à des intégrales relatives à un espace. Si cet espace est contenu
dans une surface fermée /S, cette opération conduit, comme
on sait, à une intégrale étendue à cette surface. Or, je sup-
poserai, une fois pour toutes, que dans les cas que nous aurons
à étudier cette intégrale tend vers la limite 0 si les points de
la surface S s'éloignent vers l'infini.
Enfin, dans l'énumération des propriétés qui servent à
déterminer telle ou telle fonction, la condition qu'elle s'évanouit
à distance infinie sera souvent tacitement admise.
14 H. A. LORENTZ.
Variation de V énergie cinétique,
§ 11. Supposons que les composantes u, Vj w du courant
électrique subissent des variations infiniment petites 5u, ôv,
Sw qui sont elles-mêmes les composantes d'un vecteur à
distribution solénoïdale. Indiquons par le signe S les variations
correspondantes des quantités qui dépendent de u, v, w et
calculons la valeur de S T.
L'équation (12) donne:
dT=z i f (ada4-6«iî-l-cdV4-«(U +/îrU + /5c)dr,
OTT J
mais *en vertu des relations (6) et (7) cette formule peut être
remplacée par la suivante:
dT=}- ( {ada^bSS -+-cSy)dT . , . . (13)
§ 12. Introduisons un vecteur auxiliaire dont les compo-
santes jF, g, h sont déterminées par les équations :
Off_DÇ_ 2lF_0H_ OG dF_
dy dz ' dz dx ' Ojp dy ' I
OJ' D_G DH_ . , (14)
dx ^ dy ^ dz —^' \
I
Grâce à la propriété fondamentale de Tinduction magné-
tique (§ 9, ]), on peut toujours satisfaire à ces conditions ; de
plus, on ne peut le faire que d'une seule manière. Le vecteur
(-F, 6r, H) se trouve donc entièrement déterminé.
L'équation (13) devient
H-
(g-f)^'J^-
OU, si on applique l'intégration par parties:
LA. THéoRlE lÎLKCTROMAGNfeQUE DE MAXWELL 15
dT=:
4
T.
Dans la dernière opération on a eu égard aux trois der-
nières des formules (14) et à la condition de continuité:
qui découle de Téquation (11).
Des formules (10) on déduit
d ô y d Ô S . ^ d d a d S y . ^
d Z d Z ex
^y
d s s d d a . ^
d X d y
on trouve donc finalement:
dT=f{Fdu-h GSv-^- HSw)dr (15)
Quantités qui sei^vent à définir un déplacement virtuel
du système.
§ 13. Faisons abstraction pour un moment du mouvement
réel que nous voulons étudier et portons notre attention sur
le fait que le système, à un moment où il occupe une position
déterminée W, peut être le siège de mouvements électriques
très différents. Soient u\ v, w* les composantes du courant
dans un de ces mouvements imaginables, les signes u, v, w
étant réservés au mouvement réel.
Soit P un quelconque des points matériels qui prennent
part au mouvement.
Je suppose qu'en vertu des liaisons entre les parties du
système les composantes 5, ^y, C de la vitesse de ce point sont
des fonctions linéaires des valeurs de u', v\ w' dans tous les
points de Tespace, les coefficients dans ces fonctions dépen-
16 H. A« liORKBTZ.
dant de la position YF, c'est-à-dire des coordonnées. H va
sans dire qne les fonctions dont il est question pourraient
ê1a« mises sons forme d'intégrales; cependant, je les présen-
terai comme des sommes. Si on divise l'espace entier en
éléments de volume et qu'on désigne par m', v\ u les va-
leurs de ces composantes dans le centre ou quelque autre
point fixe de chaque élément, on aura
1 = 2' (Jt^' -h fit;' -h Cw')'
i7=2:(^'u'-hfi'i;'-h Cw'),^ ; . . (16)
C = 2: {A"u' -h B"v' -h C'w'\ )
chacune de ces sommes contenant autant de termes qu'il y a
d'éléments de volume.
Si l'on prend pour ^, fi, C. A\ . , . les valeurs qui corres-
pondent à la position que le système occupe au temps t dans
le mouvement réel et qu'on remplace u\v\w' par u,v, w, les
formules (16) font connaître la vitesse réelle du point P.
§ 14. Revenons au mouvement imaginaire déterminé par
u, v\ w\ Supposons que ce mouvement ait lieu pendant
un temps r infiniment petit, les composantes u\ v\ xv
restant constantes.
Comme les coefficients A, B, C, A\. , . , peuvent être re-
gardés comme invariables pendant l'intervalle r, on trouve
pour les déplacements du point P dans les directions des axes :
dx=i2:{A vf X -f B v' T -h Cw' t), \
dy = 2:{A'ur 4- fi' t;'r-|- C iv' v), [ (17)
d 2 = 2; {A''u' T -f- B'V T -h C'w' t) ; )
expressions dont les valeurs sont complètement déterminées
par les produits u r, v' r, w' r,
§ 15. Ces produits ont une signification bien simple.
Si C est le courant électrique en un point de l'élément
de surface du, élément fixé dans l'espace, la quantité
représente ce qu'on appelle la quantité d'électricité qui, pen-
dant le temps r, a traversé cet élément dans la direction po-
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 17
sitive. Pour l'unité de surface la quantité analogue devient
Cn r. On voit donc que les produits u' r, v' r, w' r ne sont
autre chose que les quantités d'électricité, rapportées à l'unité
de surface, qui ont traversé des éléments perpendiculaires aux
axes des coordonnées. En désignant ces quantités infiniment
petites par
on trouve:
dy = ^{A'e^ H- B'ey-hCe.), [ "^ . . . (18)
8z = 2; (^"e^r -h 5"ey -h C'ez). )
Remarquons que le temps plus ou moins long que les
quantités e;r, e^, ez mettent à traverser les éléments de surface
dont il vient d'être question, n'entre plus dans ces formules.
§ 16. Ce sont les quantités e^, ey, e^ qui nous serviront à
définir un déplacement virtuel du système. Elles doivent être
regardées comme des fonctions de x, y et z. La nature du
système leur impose la condition que la distribution du vec-
teur e, dont elles sont les composantes, doit être solénoïdale.
Du reste, e^j ©y, 6^ peuvent varier avec le temps. Dès que ces
quantités ont été choisies comme des fonctions de x, y, z et t,
on peut se former une idée du mouvement varié dans lequel
se change le mouvement réel qu'on désire étudier. En eiffet,
on peut en pensée arrêter tous les points mobiles dans les
positions qu'ils occupent au temps t dans le mouvement
réel. A partir de cette configuration on peut déplacer les points
de la manière déterminée par e^r, e^, e«; on obtient alors la
position variée pour le temps t, La position variée pour tout
autre moment s'obtient de la même manière, et le mouvement
varié n'est autre chose que la succession de toutes les positions
variées.
J'ai déjà remarqué que l'équation fondamentale (2) renferme
seulement les valeurs de 8x^ dy^ dz relatives au temps t. Il en
est de même de la formule (3), qui n'est qu'une transformée
de l'équation (2). En effet, les dérivées de Ôx^ dy^ ôz parrap-
2
18 H. A. LORENTZ.
port au temps, qu'on trouve dans les deux termes du second
membre, disparaissent si on développe ces termes.
n en résulte que les conséquences qui découlent du prin-
cipe de (TAlembert sont indépendantes de la manière dont
dxy Jy, dz, ou, dans le cas qui nous occupe, e^, €y, e* varient
avec le temps.
Dans Tapplication qui va suivre, ces dernières quantités sont
supposées indépendantes de t.
Voici encore une remarque importante. Si l'on admet que
le seul moyen par lequel on puisse déplacer les points du
système consiste à y établir des courants électriques, on ob-
tiendra tous les déplacements virtuels possibles en donnant
aux quantités e^-, Cy et ez toutes les valeurs dont elles sont
susceptibles.
Application du principe de d^Alembei't.
§ 17. Pour appliquer la formule (3) je considérerai successi-
vement les variations 5'T, dT et le travail dA.
Par S'T nous avons représenté la variation que subit l'é-
nergie cinétique si les vitesses des points matériels éprouvent
des variations égales à celles qui sont apportées en réalité
aux coordonnées. Or, dans le problème actuel, cette con-
dition se trouve réalisée si, tout en maintenant constante la
configuration qui se présente dans le mouvement réel, on
augmente de ex, Cy, ez les composantes du courant. En effet,
si dans les formules (16) les coefficients Aj B, C, A', . . . .
demeurent invariables et que les composantes du courant
électrique reçoivent les accroissements e^r, ey, ez, les variations
de 5, ^7 et C seront:
2:(Aea: 4-Bey + Cez),
2 {A' ex -h B' ey H- Cez ),
2;(A'ex -h 5% -h C'ez);
elles deviennent égales aux valeurs que les équations (18)
donnent pour Sx, dy^ dz.
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 19
On voit donc que la variation 5' T peut être calculée au
moyen de la formule (15); îl faut pour cela remplacer 5î/.,
bv, Sw par e;r, ©y. ^z- Comme ces quantités sont supposées in-
dépendantes du temps, on trouve:
dd'T r /dF d G d H
dt
d
les valeurs de -^ , -— , -— se rapportant au mouvement
réel.
§ 18. La variation d T devient 0, si Ton introduit l'hypothèse
suivante, analogue à celle dont Maxwell s'est servi dans sa
théorie des circuits linéaires. (§ 2).
La position de chaque point matériel se trouve déterminée
par les quantités d'électricité qui, à partir d'un nioment fixe
arbitrairement choisi, ont traversé les éléments de surface
qu'on peut faire passer par les différents points de l'espace;
ou, ce qui revient au même:
Si, après une série de mouvements, chaque élément de sur-
face a été traversé dans les deux directions opposées par des
quantités égales d'électricifè, tous les points matériels se trou-
vent ramenés à leurs positions primitives.
Il est presque superflu de dire que la quantité d'électricité
qui traverse un élément da pendant un certain temps dans
la direction positive est représentée par l'intégrale
/
Cn dt , d(J
et qu'on parle d'une quantité d'électricité e qui est passée vers
le côté négatif, si cette intégrale a la valeur : — e.
L'hypothèse mentionnée donne lieu à ce théorème:
Si les quantités e^, ©y, ©;? sont indépendantes du temps, le
mouvement varié, bien qu'il diffère du mouvement réel par
les configurations qui se succèdent, consiste en un système de
courants dans lequel u, v, w ont les mêmes valeurs que dans
le mouvement réel.
2*
20 H. A. LORKNTZ.
Or, l'énergie cinétique dépend uniquement des valeurs de
Uy V et w; on trouve donc
5T=0.
§ 19. Voici comment on démontre le théorème du paragraphe
précédent.
Soient TF, et W2 les configurations qu'occupe le système
dans le mouvement réel aux moments t et t -\- dt, W/ et
W2' les configurations variées correspondantes.. Le mouvement
varié est celui qui fait passer le système de la position W, ' à la
position W^\ ce passage s'accomplissant dans le temps dt et
tous les points décrivant des lignes droites, infiniment petites.
Si donc on commence par la position W^', et qu'on donne
successivement au système les déplacements:
W,'^W„ W,-*W„ W,^W,',
le mouvement varié est celui par lequel la position primitive
W2' se rétablit après un temps dt.
Pendant les trois déplacements, des éléments de surface
perpendiculaires aux axes ont été traversés successivement
par les quantités d'électricité:
— udty — V dtj — w dt^
+ e^r, 4- ey, 4- eg,
toutes ces quantités ayant été rapportées à l'unité de surface.
Si donc, à partir de la position TF,', on fait exister pendant
un temps d t des courants u, v, w^ la somme algébrique des
quantités d'électricité qui ont traversé un élément devient 0
et d'après notre hypothèse le système est ramené à la position
W^. Le système des courants u, v, w constitue donc bien le
mouvement varié W/ —* W^'.
§ 20. Reste à considérer le travail 8 A, Lorsqu'on en vent
calculer la valeur, on peut passer sous silence toutes les forces
qui servent à maintenir les liaisons du système, c'est-à-dire
les forces qui sont mises en jeu, parce que la distribution du
courant électrique doit être solénoïdale et parce que l'indue-
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 21
tien et la force magnétiques qui déterminent les mouvements
électromagnétiques sont liées aux courants de la manière qui
a été considérée au paragraphe 9. Les forces dont il faut bien
tenir compte ne sont pas les mêmes dans des corps de nature
différente. Cependant, comme on le verra plus loin, on peut
dans tous les cas indiquer pour chaque point de Tespace trois
quantités X, 7, Z, telles que
— j {Xe:r-h Fey-hZe,)dr (19)
représente le travail des forces pour le déplacement virtuel
défini par e;r, ey, e^.
La formule (3) devient donc:
_e.+ _e,4. -^- e.)dr, .... (20)
relation qui renferme à elle seule toutes les équations du
mouvement. Pour en tirer toutes les conséquences, il suffit
d'exprimer que la formule doit être vraie pour toutes les va-
leurs admissibles de e^y ©y, 6;?. Cependant, avant de procéder
plus loin, il sera utile d'étudier les valeurs de X, F, Z dans
des cas particuliers.
Valeurs de X, Y et Z pour les diélectriques.
§ 21. Lorsque quelques-unes des forces qui agissent dans le
système dérivent d'une énergie potentielle, le travail de ces
forces est égal à la diminution de cette énergie. Or, suivant
les idées de' Maxwell, les forces qui agissent dans les corps
non conducteurs ou diélectriques possèdent cette propriété.
Dans les diélectriques il existe un état d'équilibre naturel
qui est dérangé par tout mouvement de l'électricité, et un tel
dérangement donne lieu à une certaine énergie potentielle.
22 H. A. LOKENTZ.
Appelons fy g ^t h les quantités d'électricité qui, à partir de
l'état naturel, ont traversé des éléments de surface perpendi-
culaires à 0 Xj 0 F et 0 Z, ces quantités étant ramenées à
Tunité de surface; alors on peut écrire pour Ténergie poten-
tielle par unité de volume
IC^^r,.:/^ -i-Py.yg^ •^Vz.zh^ 4- 2 î/ar,y/5r -h 2py^zgh'h
'h2pz,:chf), (21)
où les coefficients p dépendent des propriétés physiques du
corps. Dans le cas des diélectriques anisotropes il est en général
nécessaire de connaître les valeurs des six coefficients. Pour
les corps isotropes la chose est plus simple : les coefficients
^^,y; ^y» ^ ^^ ^^* X s'évanouissent e". les trois autres ont une valeur
commune v.
Pour augmenter la symétrie des formules, j'écrirai quelque-
fois Vy^xy Vz,yi Vx,z au lieu de Vx.y^ Vy^z^ Vz,x.
§ 22. Les quantités /, 5^ et /i peuvent être regardées comme
les composantes d'un vecteur queje représenterai par D et que
Maxwell nomme le déplacement diélectrique. En se rappelant la
définition de f, g Qt h on s'assure facilement que la distri-
bution de ce vecteur doit être solénoïdale, ce qui s'exprime
par les formules: *)
df dg dh ^ ,^^.
dx dy dZ ^ '
(D.),=(D«), (23)
S'il y a mouvement de l'électricité, les valeurs de f, g eih
changent avec le temps et les composantes du courant sont
évidemment données par les formules:
^/ ^g ^h
^ = ô-r^ = D-r "=Dl (24)
D'une manière analogue, les quantités e^r, Py, f^z qui déter-
minent un déplacement virtuel doivent être considérées comme
des variations de /, g et h,
*) Ces formules cessent d'être vraies s'il y a une -•'charge électrique"
à l'intérieur d'un isolateur ou à la surface qui sépare deux de ces corps.
Je reviendrai sur ce cas au paragraphe 431
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 23
§ 23. Cette dernière remarque conduit à la valeur suivante
de d A, en tant que ce travail dépend des forces qui agissent
à l'intérieur d'un diélectrique:
— f\ /«_ _ f -L. «-. .. /T -I- «_ . h\ i»_ _|-
/ (^^, ^/ •+" ^^,yff + ^^, ^ f^) ©^
+ (^y,^/ -^ Vy.yg + l'y, z A) Cy H- (î^;?, :r/ "H ^ir, y flT -f- î/xr, ;? /l) 6;? j d T.
En identifiant ceci avec l'expression (19), on trouve
"^ ^=^'^y>^f -^vy.ya -^ vy,zhy i (25)
Z=Z Vz, 3ff -^ Vz,yg -i- Vz, z h.
Valeurs de X, Y et Z pour les conducteurs.
§ 24. Le développement de chaleur qui accompagne les
courants électriques dans les conducteurs prouve que dans ces
corps il y a des causes qui tendent à diminuer l'énergie
électromagnétique. H faut donc admettre qu'il existe des forces,
comparables au frottement de la mécanique ordinaire, dont
le travail est négatif dans tous les mouvements réels.
La quantité de chaleur qui est dégagée dans un fil conduc-
teur étant proportionnelle au carré de l'intensité du courant,
il est naturel de supposer que dans un conducteur quelconque
le développement de chaleur est une fonction homogène du
second degré de u, v et w. J'écrirai donc pour le travail de
la résistance par. unité de volume, pendant le temps dty
— (Hx,xU'^+ity,yV^-hHz,zW^-Jr 2lix,yUV + 2iiy, z V W-^2i(z^ x W u) dt
OU
— L(»«^. ;r tfc 4- Xar,y V + Xj», z W) U d <-|-(xy,ar tfc4-Xy,y V + Xy, z w) V d t -i-
-h {kz, xU-^ Hz.yV -i- itz,z W)wd <],
les constantes x dépendant de la nature du conducteur et
»y,*i x;?,y, xx, « désignant la même chose que xa.,y, xy, r, x^, >.
Si le conducteur est isotrope, on a x^,y =:xy, ^=:xj?, ^p == 0,
et les coefficients x^r,^, ity.y et hz,z ont une valeur commune x.
24 H. A. LORKNTZ.
Les produits udi, v dt^ w dt représentent pour le mouve •
ment réel ce que nous avons indiqué dans le cas général par
e;r, Cy, e^. On voit donc que, tant qu'il s'agit d'un mouvement
réel, le travail des forces peut être calculé au moyen de la
formule (19) si Ton pose:
r = xy,^u4- xy.yv 4- Ky,;r'M;, ^ (26)
Or, je supposerai que, si on emploie ces valeurs, le travail
des forces dans un déplacement virtuel peut également être
mis sous la forme (19) ; hypothèse, du reste, qui est confirmée
par le fait que les conséquences qui en découlent s'accordent
avec l'expérience.
Il n'y a qu'un seul cas où l'on a eu recours à des valeurs
de X, Y et Z différentes de celles que je viens d'indiquer.
\ Pour expliquer le phénomène de Hall, qui se produit dans
des feuilles métalliques placées dans un champ magnétique,
on a ajouté aux derniers membres des équations (26) des
termes de la forme:
Mais le phénomène de Hall ne sera pas considéré dans ce
mémoire.
Équations du mouvement,
§ 25. Revenons maintenant à l'équation (20), qui peut être
remplacée par
si on désigne par p, g et r les cosinus directeurs du vecteur
e dont e;r, e^, Bz sont les composantes.
Il faut appliquer cette condition à tous les déplacements
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 25
virtuels qui sont compatibles avec la condition que la distri-
bution du vecteur e doit être solénoïd^^le.
Concevons un tube annulaire d'une section infiniment petite ;
Taxe de ce tube, c'est-à-dire la ligne fermée s qui passe par
les centres de gravité de toutes les sections droites, peut être
de forme quelconque. Désignons par œ la surface d'une de ces
sections, et prenons e = 0 dans tous les points à l'extérieur du
tube. Supposons aussi qu'à l'intérieur le vecteur e ait partout
la direction d'une circulation le long de la ligne s, que e ait
une même valeur dans tous les points d'une même section
droite et que le produit e w ne change pas d'une section à
l'autre. On reconnaîtra immédiatement que la distribution de e
est alors solénoïdale. En substituant dans la formule précédente :
et en divisant par eœ, on trouve
équation qui doit être vraie pour une ligne fermée quelcon-
que, et dans laquelle p, q, r sont maintenant les cosinus di-
recteurs d'un élément de cette ligne.
§ 26. Si l'on prend pour la ligne fermée le contour d'un
rectangle infiniment petit dont les côtés sont parallèles à deux
des axes des coordonnées et qui n'est pas coupé par une surface
de discontinuité, on trouve:
d7~dz—dt\dz''dxj' i • ^^^^
dy'^dx~dt\dz~dy) !
On peut considérer en second lieu une ligne fermée qui se
trouve moitié d'une part et moitié d'autre part d'une surface
de discontinuité. Soit s une ligne quelconque non fermée située
dans cette surface; le contour auquel j'appliquerai la formule
26 H. A. LORBNTZ.
(27) sera composé de deux lignes s, et s^, situées des deux
côtés de la surface à une distance infiniment petite de la ligne
8, et de deux lignes infiniment petites qui joignent les extrémités
de 8, et 82- Comme les fonctions F^ Qet H sont continues (§ 12),
la formule (27) revient à la condition que les intégrales du
vecteur (X, Y, Z), prises le long des lignes s, et s^» doivent
être égales entre elles. Or, ceci exige que, si R représente ce
vecteur, on ait pour toute direction h située dans le plan
tangent :
(Rk),={Rk), (29)
Il est facile de s'assurer que la condition (20) sera remplie
pour tous les déplacements admissibles, dès que les compo-
santes X, y, Z satisfont aux équations (28) et (29). Nous avons
donc trouvé le système complet des équations de mouvement.
§ 27. En ayant égard aux formules (14) on peut donner aux
équations (28) la forme:
D_F ^_^
'd~z ~ dy ~dt *
dx~ dz—dt^ ^ (^^^
d X ^_ ^
d y d X d t*
ce qui présente l'avantage que les fonctions F, G et H ont
disparu. Tous les problèmes spéciaux peuvent être traités au
moyen de formules qui ne contiennent que le courant élec-
trique, le déplacement diélectrique, les fonctions X, Y etZet
enfin la force et Tinduction magnétiques. Les équations (4),
(5), (6), (8), (9), (10), (11), (22) et (23) expriment les liaisons
entre les parties du système ; les équations (24) résultent de la
définition même de f^ g et h; dans les formules (25) et (26)
on a résumé ce que l'expérience nous apprend sur les forces
agissant dans le système ; enfin les relations (30) et (29) sont
les équations du mouvement proprement dites. Tout comme
dans la mécanique ordinaire, elles nous font connaître la dé-
pendance mutuelle des forces et des accélérations. En effet.
LA THEOEIB ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 27
les valeurs de la force et de Pinduction magnétiques déter-
minent les vitesses des mouvements électromagnétiques; les
accélérations se trouvent par conséquent renfermées dans les
d a d b de
dérivées
dt' dt' dt'
f.
Formules de V électrostatique.
§ 28. S'il y a équilibre électrique, on a w^zv ^=w=iOy et
par conséquent la force magnétique, Tinduction magnétique et
le vecteur (-F, G, H) disparaissent, La formule (27) exige alors
que pour toute ligne fermée on ait
\ [Xp 4- Yq-^Zr)ds= j R,d5 = 0, .... (31)
condition qui se laisse encore énoncer comme il suit:
Pour toutes les lignes qu'on peut mener entre deux points
^ et P l'intégrale
^Hsds (32)
j
doit avoir la même valeur.
Prenons pour A un point situé à l'infini; la valeur de
l'intégrale prise avec le signe — est alors appelée le potentiel
au point P. Cette fonction sera représentée par q>.
De cette définition et de la circonstance qu'à l'intérieur d'un
conducteur X, Y, Z ont, dans le cas de l'équilibre, la valeur
0, on déduit les propositions suivantes:
a. Le potentiel est 0 à distance infinie.
b. Dans tous les points d'un même conducteur il a la
même valeur.
c. Il est continu à chaque surface de discontinuité
d. Les fonctions X, Y et Z sont données par les formules :
X = -p^, Y = -p^, Z = -^^. . . . (33)
dX 0 y d z
28 H. A. LOR8NTZ.
§ 29. F^s équations (25) peuvent être mises sous la forme :
g -=, py^jt X -h r'y,5 y H- p'y, z Z,
h =r Pz, z X -^ Pz,y Y -h p'z, z Z^
leb coefficients r' étant déterminés par les valeurs des coeffi-
cients r, et Py,xj Pz,y^Px,z étant respectivement égaux à rV, 5,
En substituant dans ces formules les valeurs de JT, Y eiZ
données dans le paragraphe précédent et en portant les valeurs
d^ fj 9 ^^ ^ dans les équations (22) et (23), on trouve des
équations différentielles qui, jointes aux conditions déjà trou-
vées, suffisent à la détermination du potentiel ç» dès que la
valeur en est connue pour chaque conducteur du système.
Dans le cas d'un diélectrique homogène et isotrope, la for-
mule (22) conduit à Téquation connue de LaploLce.
§ 30. Supposons qu'au moyen des valeurs de y dans les
différents conducteurs du système on ait calculé pour tous les
points de l'espace les valeurs de (p, /, g et h. Quelle est alors
la grandeur de la charge de chaque conducteur? Ce qu'on
appelle ainsi, c'est la quantité d'électricité JE^ qu'il faut enlever
au conducteur, au moyen d'un fil métallique par exemple^ si
l'on veut ramener le système à l'état naturel.
Soit (T une surface fermée, enveloppant le conducteur et
traversant le fil conducteur qui sert à opérer la décharge.
Distinguons par les indices d et / les intégrales qui se rap-
portent aux parties de la surface situées dans le diélectrique
et dans le fil. En vertu de la propriété fondamentale des
courants électriques, il faut qu'à chaque instant pendant la
décharge :
I Cnd(f -h I Cnda = 0 ,
ou bien, comme dans le diélectrique
dOn
dt
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 29
Jf dt Jd
Je suppose la normale n dirigée vers l'extérieur de la
surface.
Multiplions par dt Téquation précédente et intégrons sur
toute la durée de la décharge. Le premier membre devient
alors égal à la charge que possédait le conducteur, et, en
entendant par D le déplacement diélectrique qui existait avant
la décharge, on trouve
E= I Onda.
= f Dn
Par des raisonnements qu41 est superflu de reproduire ici, on
s'assure que la formule est encore vraie si le conducteur est
maintenu isolé et que Tintégration soit étendue à toutes les
parties d'une surface fermée enveloppant le conducteur.
Dans ce qui a été dit dans les trois derniers paragraphes
ou reconnaîtra immédiatement des propositions bien connues
de l'électrostatique.
Hypothèse du fluide électrique.
§ 31. Plusieurs des raisonnements qu'on trouve dans ce
mémoire peuvent être rendus plus clairs au moyen d'une hypo-
thèse qui est une de celles dont M. Poincaré s'est servi dans
son exposition ') de la doctrine nouvelle et que je vais présenter
sous une forme un peu différente. On peut supposer que tous
les corps, y compris l'éther, sont imprégnés d'un fluide incom-
pressible, dont le déplacement constitue les phénomènes élec-
triques. Dans les corps diélectriques, les particules de ce fluide
doivent être regardées comme liées à des positions d'équilibre,
vers lesquelles elles sont ramenées dès que la force qui causait
un déplacement cesse d'agir ; dans les conducteurs, au contraire,
il ne peut être question d'une position d'équilibre et ces corps
I) Poincaré, Électricité et Optique (1890), T. I. Chapitre II.
30 H. A. LORBNTZ.
peuvent se retrouver dans leur état naturel après des dépla-
cements du fluide très considérables.
Selon cette manière de voir, les composantes u^ v et w du
courant électrique ne sont autre chose que les quantités du
fluide incompressible qui traversent des éléments de surface
perpendiculaires aux axes des coordonnées, ces quantités étant
toujours rapportées à l'unité de temps et à l'unité de surface.
Ce que nous avons appelé la quantité d'électricité qui a franchi
une surface quelconque pendant un certain temps est précisé-
ment la quantité du fluide incompressible qui a passé d'un
côté de la surface à l'autre.
Pour cette dernière raison, il convient de donner le nom
inême à^ électricité au fluide hypothétique, bien que la pré-
sence à elle seule de cette substance ne donne lieu à aucun
phénomène particulier ').
Du reste, il ne faut pas attacher à l'hypothèse trop d'im-
portance. Elle est utile en tant qu'elle nous permet de nous
former une image de ce qui était d'abord caché sous les
symboles mathémathiques, mais le langage de. ces derniers
sera toujours préféré par ceux qui désirent se borner à ce qui a
été démontré par les observations et à ce qu'il y a de nécessaire
dans les hypothèses.
C'est ainsi que les équations (4) et (5) ont pour la théorie
de Maxwell une importance fondamentale. En élevant l'électricité
au rang d'un fluide incompressible, on leur donne une inter-
prétation qui ne laisse rien à désirer sous le rapport de la
clarté, mais on dépasse le domaine des suppositions nécessaires.
§ 32. Voyons maintenant ce que c'est dans l'hypothèse du
fluide, qu'une charge électrique. Un conducteur étant relié à
un autre corps, à la terre par exemple, par un fil métallique,
on peut faire agir des forces „ électromotrices" sur le fluide
électrique contenu dans ce fil. Si ces forces sont dirigées vers
*) M. Poincaré donne le nom de fluide inducteur au fluide incompres-
sible qu'on suppose dans les diélectriques, et celui à* électricité au fluide
contenu dans les conducteurs.
LA THEORIE éLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 31
le conducteur, il en résultera une charge que je nommerai
positive. Une nouvelle quantité d'électricité entrera dans le
conducteur, mais, en vertu de l'incompressibilité, une quantité
égale en dépassera la surface et chassera devant elle le fluide
contenu dans le diélectrique ambiant. La charge sera mesurée
soit par la quantité d'électricité qui a traversé une section
du fil, soit par celle qui s'est déplacée dans le diélectrique
vers l'extérieur d'une surface fermée quelconque enveloppant
le conducteur.
En renversant la direction des forces électromotrices on
obtient une charge négative. Le déplacement de l'électricité
prendra alors dans tous les points du système une direction
opposée à celle qu'il avait dans le cas précédent.
Le déplacement du fluide dans le diélectrique donne lieu à
des forces qui cherchent à le ramener vers la position primitive
et qu'on peut réunir sous le nom à! élasticité diélectrique. Si la
charge est positive, ces forces tendront à repousser l'électricité
vers le conducteur ; il en résultera dans le fluide de ce dernier
un surcroît de pression et un état permanent aura été atteint
(lès que la pression augmentée fait équilibre aux forces élec-
tromotrices dans le fil.
De la même manière, il y aura diminution de pression dans
le conducteur, si la charge est négative. La pression peut
cependant rester positive si dans l'état naturel du système
elle avait une valeur suflisamment grande.
§ 33. Bien que nous ayons regardé le fluide électrique comme
remplissant tout l'espace, il faut admettre que d'autres matières
y peuvent également trouver place, soit que ces substances
diflférentes soient des manifestations diverses d'une matière
unique, soit qu'une constitution atomique leur permette de se
pénétrer mutuellement. Il y a d'abord la matière pondérable ;
en second lieu, il faut que l'éther contienne une matière
capable de retenir l'électricité et de la ramener vers la posi-
tion d'équilibre; enfin, les points matériels qui sont chargés
des mouvements électromagnétiques doivent être regardés
32 . ^H. A. IrORBNTZ.-
comme n'appartenant pas au fluide électrique lui-même. On
risquerait d'être ^entraîné en de vaines spéculations si on
voulait se former une idée précise de ce mécanisme compli-
qué ; aussi me bornerai-je aux distinctions que je viens d'in-
diquer. Inutile de dire que cette analyse des phénomènes n'est
que provisoire et pourra être modifiée profondément dans une
théorie plus avancée.
J'indiquerai par M à la fois la matière pondérable et la
substance qui retient l'électricité contenue dans Péther, par N la
matière qui est le siège des mouvements électromagnétiques.
§ 34. Pour fixer les idées je supposerai que la matière M
est immobile et qu'elle ne fait point partie du système auquel
nous avons appliqué le principe de (ïAlembert, Ce système
est donc composé du fluide électrique et de la matière N. Les
conditions qui en limitent la mobilité reviennent à l'incom-
pressibilité du fluide, d'une part, et à ce que, d'autre part, tout
mouvement de ce fluide donne lieu à un mouvement électro-
magnétique parfaitement déterminé.
Tout comme dans la mécanique ordinaire, certaines forces
sont mises en jeu en vertu de ces liaisons et servent à les
maintenir. Il existe une pression dans le fluide et entre celui-ci
et la matière N un système de forces sur lequel je reviendrai
bientôt.
Je supposerai que ces forces, qui sont provoquées par les
liaisons et qui n'accomplissent aucun travail, sont les seules
qui s'exercent entre les différentes parties du système: fluide
électrique -h matière N. Si, de plus, on admet que la matière
M n'agit pas directement sur la matière N, il faudra dans la
formule fondamentale (3) entendre par 5 il le travail des forces
que le fluide électrique éprouve de la part de la matière M.
§ 35. Au paragraphe 20 nous avons admis l'existence de
trois fonctions X, Y et Z, telles que le travail S A peut être
calculé au moyen de la formule (19). Au point de vue où
nous nous sommes placés maintenant,, on peut voir dans ces
fonctions, prises avec le signe négatif, les composantes de la
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 33
force avec laquelle la matière M agit sur l'unité d'électricité. En
eflfet, lorsqu'on écrit — X, — F, — Z pour ces composantes, un
raisonnement très-simple conduit à l'expression (19) pour le
travail. Soit h la quantité invariable d'électricité, exprimée en
unités électromagnétiques, qui se trouve dans l'unité de
volume. Alors la force qui agit sur l'électricité contenue dans
l'élément dr a les composantes:
— Xkdr, —Ykdr, —Zkdr, (34)
et, si X, y et z sont les projections du déplacement infiniment
petit d'une particule du fluide, le travail de cette force devient :
— (XxH- Yy + Zz)kdT.
Mais évidemment
fC X ^ZT Vgy fc y ^zr Oy, ic z zzr o^^.
La dernière expression devient par conséquent
— {Xea;-+'Yey + Zez)dT,
ce qui donne pour le système entier
8Az=:—j{Xe:r-h rey + Ze;r)dT.
§ 36. Il est clair quel sens il faut attacher maintenant aux
équations (25) et (26). En changeant le signe des seconds
membres, on trouve les composantes de l'élasticité diélectrique
et de la résistance, c'est-à-dire de la force qui, dans les di-
électriques, cherche à ramener vers sa position d'équilibre le
fluide électrique, et du frottement qui s'oppose au mouvement
de l'électricité dans les conducteurs. Pour les corps isotropes
ces composantes deviennent.
— y fy — vg, — vh,
Ce sont les valeurs auxquelles on est conduit par les hypo-
thèses les plus simples qu'on puisse imaginer.
§ 37. S'il y a équilibre électrique on peut faire abstraction
de la matière N. De plus, le principe de d^Alembert se réduit
alors à celui des vitesses virtuelles; on arrive à la formule
3
34 H. A. LORENTZ.
fondamentale de Télectrostatique, l'équation (31), en exprimant
que le travail des forces — X, — Y, — Z est nul pour tous
les déplacements imaginables du fluide électrique, par exemple
pour une circulation dans un tube annulaire (§ 25). La valeur
du travail d A peut être déduite des équations (19) et (25) ; il
peut également être considéré comme la diminution de Ténergie
potentielle (21). Cette dernière est comparable à Ténergie poten-
tielle qui est développée dans les corps élastiques ordinaires
par un dérangement de leur équilibre.
Du reste, les problèmes d'électrostatique admettent un
autre traitement, qui consiste à exprimer directement l'équilibre
des forces qui agissent sur le fluide électrique contenu dans
un élément de volume dr. On a d'abord les forces (34); il
y faut ajouter celles qui résultent de ce que la pression p du
fluide n'a pas la même valeur tout autour de dr. Ces forces
sont évidemment
'^P^ ^P^ ^Pj
d X d y d z -
et la condition cherchée s'exprime par les formules :
d X d y c z
Soit Po la pression qui existe à l'état naturel du système,
et définissons le potentiel par la formule
^_P— .Po.
les dernières équations se réduisent alors aux formules (33)
que nous avons trouvées précédemment. •
On voit ainsi que, dans l'hypothèse du fluide électrique, le
potentiel est intimement lié à la pression. Cela est du reste
fort naturel, car on comprend immédiatement que la pression
peut jouer le rôle qu'on attribue au potentiel. Si deux con-
ducteurs sont reliés l'un à l'autre par l'intermédiaire d'un fil
métallique, il y aura équilibre lorsque la pression a la même
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 36
valeur dans les deux corps; s'il n'en est pas ainsi, le fluide
électrique tendra à se mouvoir vers le côté où la pression a
la valeur la plus basse.
Courants invariables.
§ 38. Lorsque deux points d'un corps métallique C sont
reliés aux pôles d'un élément voltaïque, il s'établit un régime
permanent, dans lequel u, ?;, w et par conséquent la force
et l'induction magnétiques sont indépendants du temps. En
toute rigueur, la théorie que nous avons développée jusqu'ici
ne suffit pas à l'étude complète d'un tel cas, parce qu'elle ne
tient aucun compte des forces électromotrices qui sont enjeu
dans les combinaisons voltaïques. Cependant les équations (30)
n'en sont pas moins applicnbles, pourvu seulement qu'on se
borne aux parties de l'espace où il n'existe pas de forces élec-
tromotrices, par exemple au corps C et au diélectrique en-
vironnant. Mais, si a, 6 et c ne varient pas avec le temps,
ces équations se réduisent à:
D_F ^Z_d^ ?^_^ ——0
Oz dy dx d z d y d X '
On en déduit de nouveau le théorème que l'intégrale (32)
a la même valeur pour toutes les lignes qu'on peut mener du
point A au point P. Seulement, il faut ajouter la condition
que les lignes dont il s'agit doivent être situées entièrement
dans une région exempte de forces électromotrices.
Cela posé, on définira le potentiel qp de la même manière
qu'au paragraphe 28, et on aura encore les formules (33), dans
lesquelles on substituera les valeurs (26) si l'on veut étudier
la distribution du courant électrique dans le corps C,
§ 39. Je n'insisterai pas sur les questions que présentent les
courants permanents. Cependant, il importe de remarquer que
la théorie du fluide électrique arrive d'une manière fort simple
3*
V
36 H. A. LORENTZ.
aux équations fondamentales si on introduit deux hypothèses,
à savoir, que la matière N n^a aucune influence sur un mou-
vement stationnaire de Télectricité et que le fluide électrique
lui-même n'a qu'une masse insensible. Cette dernière hypothèse
nous permet d'égaler à 0 la force résultante qui agit sur
l'électricité contenue dans un élément de volume, sans nous
préoccuper des changements en grandeur et en direction que
la vitesse d'une particule déterminée du fluide électrique subit
en général, même dans les courants constants. En vertu de
la première hypothèse, les forces en question consistent ^ans
celle qui dérive de la pression et qui a pour composantes:
dp dp dp
d X d y ' d Z
et dans la force aux composantes:
— Xkdr, — Ykdvj — Zkdv^
X, Y et Z ayant les valeurs (26). On revient donc aux for-
mules (33).
Quant aux hypothèses précitées, la première est vérifiée par
la théorie générale, vu que les seconds membres des équations
(30) s'annulent, et la seconde est à la base de toute la théorie.
En effet, si le fluide électrique lui-même avait une masse ap-
préciable, il aurait aussi une énergie cinétique, dont la valeur
— par unité de volume — serait proportionnelle à (u^ -h?;^ -i-w^).
L'expression (12), qui se trouve en accord avec les expériences,
serait donc inexacte ou du moins incomplète.
Le phénomène de la dispersion de la lumière semble indiquer
l'existence de petites masses qui se déplacent en même temps
que l'électricité, et introduisent dans l'expression de l'énergie
cinétique un terme proportionnel à {u^ -{- v^ -\- w'^), mais il
faut admettre que ces masses ne sont pas assez grandes pour
se faire sentir dans les expériences sur les courants qu'on peut
observer comme tels.
LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 37
Courants variables,
§ 40. Dans l'explication des phénomènes électrostatiques et
de la distribution des courants permanents il n'y a pas lieu
de faire intervenir les mouvements électromagnétiques. Dans
le premier cas ces mouvements font défaut, dans le second cas
ils ont une intensité invariable et sont par cela même incapables
de réagir sur l'électricité. C'est dans les courants variables que
se manifeste l'influence des mouvements électromagnétiques.
Ce n'est pas ici le lieu de nous étendre sur les phénomènes
qui peuvent être expliqués au moyen des formules générales,
d'autres physiciens en ayant amplement démontré l'applicabi-
lité. On me permettra cependant de citer un seul exemple.
Figurons-nous qu'un condensateur aux armatures A et J? ait été
chargé; la première armature ayant reçu une charge positive. Il y
a alors déplacement diélectrique suivant toutes les lignes de force
électriques, mais principalement dans Tisolateur qui sépare les
deux armatures. Ce déplacement est dirigé de A vers B; il
donne lieu à une élasticité diélectrique dirigée en sens inverse,
et l'équilibre exige que la pression à l'intérieur de A surpasse
celle qui existe à l'armature B, C'est là la diflférence de poten-
tiel. Que se passera-t-il maintenant si on relie par un fil con-
ducteur les deux armatures? La différence de pression fait
naître dans ce fil un courant qui décharge le condensateur,
l'électricité qui se trouve dans la couche non-conductrice re-
venant vers sa position d'équilibre à mesure que la pression
diminue dans l'armature A. Cependant, le courant engendré
dans le fil métallique donne lieu à un mouvement électro-
magnétique dans le milieu ambiant et dans le fil lui-même.
Si ce dernier n'avait aucune résistance, le mouvement serait
accéléré tant qu'il y a une différence de pression qui pousse
de A vers B le fluide contenu dans le fil, et au moment où
cette différence se trouve épuisée, c'est-à-dire où le conden-
sateur est sans charge, le mouvement électromagnétique aurait
pris sa plus grande intensité. Cela étant, on comprend faci-
38 H. A. LOEENTZ.
lement qu'en vertu des liaisons entre la matière N et Télec-
tricité du fil cette dernière doit continuer de se mouvoir. Le
condensateur reçoit ainsi une charge opposée à celle qu'il
avait au commencement et en définitive on aura le phénomène
bien connu de la décharge oscillatoire. Il est clair que la force
qui ralentit le mouvement — le courant électrique et les
mouvements électromagnétiques qui en dépendent — et finit
par le renverser n'est autre chose que l'élasticité diélectrique
excitée dans la couche isolante, et que le mouvement peut
continuer d'autant plus longtemps dans une même direction
qu'une plus grande masse est en jeu. La masse dont il s'agit
doit être cherchée dans la matière N et non pas dans le fluide
électrique.
§ 41. On pourrait comparer ce dernier à une tige dentée
qui se déplace en sens longitudinal, et la matière N à
une roue dentée s'engrenant avec cette tige; en effet, une
résistance quelconque, qui s'oppose à un mouvement donné
de ces organes, ne les amènera pas instantanément au repos ;
il faudra pour cela un temps d'autant plus long que la masse
de la roue est plus considérable.
Lorsque, dans la mécanique ordinaire, on applique le prin-
cipe de d'Alembert à un tel système — supposé libre de tout
frottement — on emploie des formules dans lesquelles ne figure
pas la pression existant entre les dents qui se trouvent en
contact. D'une manière analogue, nous avons développé la
théorie générale des mouvements électriques et nous pourrions
établir la théorie spéciale de la décharge oscillante sans nous
préoccuper de la réaction que l'électricité éprouve de la part
de la matière N.
On ne saurait nier, toutefois, que cette méthode aciuelque
chose d'artificiel. Si l'on veut comprendre complètement le
mouvement de la tige et de la roue dentées, on désirera se
rendre compte non seulement du mouvement du système
entier, mais aussi de celui de chaque organe considéré sépa-
rément. On ne sera satisfait qu'après avoir saisi la relation
LA THÉORIK ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 39
entre la rotation de la roue et la force avec laquelle elle agit
sur la tige. Relation bien simple, du reste, si la roue n'est
soumise à aucune force extérieure et n'est liée à aucun autre
organe ; elle tendra alors à faire avancer la tige si son propre
mouvement est ralenti, et elle s'opposera au déplacement de
la tige dans le cas contraire.
Ces considérations nous conduisent à étudier séparément
le mouvement du fluide électrique et à introduire les forces
qui servent à maintenir les liaisons. On arrive ainsi à une
méthode dans laquelle les forces qui seules accomplissaient
un travail SA sont reléguées au second plan.
Force électrique,
§ 42. Considérons une quantité infiniment petite e du fluide
électrique, située à l'intérieur d'uii corps pondérable ou de
l'éther. La force qu'elle éprouve de la part de la matière M
a pour composantes:
— Xcy —Ye, -Ze,
et j'écrirai:
X' e, Te, Z e
pour les composantes de la force qui est due au fluide am-
biant et
X"e, Te, Z"e
pour celles de la force qui est exercée par la matière N.
Comme nous négligeons la masse du fluide, toutes ces forces
doivent se tenir en équilibre, c'est-à-dire qu'on aura:
X' + X" = Z, r -h Y" =Y, z -^ Z' = Z.
On voit donc que le vecteur (^, Y, Z) représente la force
qui agit sur l'unité d'électricité en vertu des liaisons du système.
Cette force fait équilibre avec celle qui est due à la matière
M, c'est-à-dire avec l'élasticité diélectrique ou le frottement,
et on dit souvent qu'elle sert à vaincre ces dernières forces et
40 H. A. LORBNTZ.
qu'elle produit ainsi un déplacement diélectrique ou un courant.
Suivant cet ordre d'idées, on regarde dans les équations (25),
(26) et (30) comme la cause ce qui auparavant était considéré
comme l'effet, et inversement. Jusqu'ici — X, — 1' , — Z
étaient les forces avec lesquelles la matière M agit sur l'élec-
tricité dès qu'il y a un déplacement diélectrique ou un courant;
ces forces déterminaient les accélérations que contiennent les
seconds membres des formules (30). On peut dire tout aussi
bien que ces dernières formules déterminent la force (X, Y, Z)
qui est exercée sur l'unité du fluide par le fluide ambiant et
par la matière N, et que cette force fiEÛt naître un déplacement
diélectrique ou un courant suivant les lois qui sont exprimées
par les équations (25) et (26).
Cette force (X, Z, Z) ou R (§ 26) est appelée la force élec-
trique. Elle se compose de deux parties, dont la première, aux
composantes :
i' = -^. r = -^. z'=-^-^,. ..(35)
peut être appelée jorc/t électrostatique et la seconde {X^\ Y'\ Z")
force inductrice. Ces deux forces, que les anciennes théories
attribuaient à des actions à distance, sont causées, l'une par
la pression du fluide, l'autre par la réaction de la matière N.
Des formules (35) on tire:
d y d z d z d X d X Ot/ '
on voit donc que, dans les formules (30), on pourrait enten-
dre par Xj Y et z les composantes de la force inductrice
seule. Je continuerai cependant à désigner par ces lettres la
force électrique totale.
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 41
Charge électrique au sein â!un isolateur,
§ 43. Je vais terminer par quelques additions cette étude
^es mouvements électriques dans les corps immobiles.
Et d'abord quelques mots sur les charges qu'on peut se
figurer dans les diélectriques. Je dis „se figurer", parce qu'il
nous est impossible de produire une telle charge dans un
milieu entièrement dépourvu de conductibilité.
Dans un diélectrique qui se trouve à l'état naturel, chaque
particule du fluide électrique occupe sa position d'équilibre.
Or, on peut imaginer que, en dehors de ce fluide que le corps
renferme dans son état naturel, il en contienne une certaine
autre quantité, qui y trouve place en refoulant devant elle le
fluide qui sans cela se trouverait dans sa position d'équilibre.
Ce dernier déplacement est le déplacement diélectrique, et
l'excès lui-même, que j'ai supposé, constitue une charge posi-
tive. Il est clair que, pour toute surface fermée, on aura:
/
{inda = E, (36)
la normale étant dirigée vers l'extérieur et la charge qui
se trouve à l'intérieur de la surface étant représentée par E,
Une charge négative se conçoit d'une manière analogue;
et la même équation peut être employée dans ce cas. Au
lieu d'un excès, c'est maintenant un certain déficit en fluide
électrique qu'il faut se figurer: si l'on admet qu'une partie
quelconque de l'espace doit toujours rester remplie du fluide
incompressible, il faut alors qu'à la surface (t il y ait un dé-
placement diélectrique tel que l'intégrale \ Und o soit négative.
En appliquant l'équation (36) à un élément de volume et
en indiquant par qdr la charge contenue dans cet élément,
on trouve:
0/ dg dh
dx d y d Z
La quantité q est appelée la densité de la charge électrique.
42 H. A. LORENTZ.
On voit donc que la distribution du déplacement diélec-
trique n'est plus solénoïdale. Tout de même, le courant élec-
trique n'a pas perdu cette propriété. En effet, la charge élec-
trique d'un élément de volume doit être regardée comme
restant constante pendant toutes les variations possibles de
/, g et /i. On aura donc:
ou bien:
d X d y d Z
§ 44. Ce qui précède peut être mis sous une forme
indépendante de l'hypothèse d'un fluide électrique. On se
servira à cet effet des propositions ou hypothèses suivantes:
a. Dans chaque corps diélectrique il peut exister un dé-
rangement de l'état naturel qui est de la nature d'un vecteur
et qu'on nomme le déplacement diélectrique; à ce dérange-
ment correspond une énergie potentielle qui est donnée par
l'expression (21).
h. Les variations de ce déplacement diélectrique constituent
le phénomène qu'on appelle un courant, les composantes du
courant étant données par les formules (24).
c. La distribution du courant électrique est toujours solé-
noïdale. Par conséquent, l'expression
df dg dh
d X dy d z
doit avoir en chaque point une valeur constante q. Si cette
valeur n'est pas 0, on dit qu'il y a une charge électrique et
on nomme q la densité de la charge.
Corps qui possMent en rnéme temps les propriétés d\m
condiicteur et celles d'un diélectrique.
§ 45. Maxwell a supposé qu'une force électrique peut pro-
voquer dans le même corps un déplacement diélectrique et
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 43
un courant comparable à ceux qu'on considère dans la théorie
ordinaire des conducteurs. Ces deux phénomènes seraient
donnés en fonction de X, Y et Z par les formules (25) et
(26), et les composantes du courant total, dont dépendent la
force et Tinduction magnétiques et par conséquent l'énergie
cinétique du système seraient
df dg dh
''^w '^tv ^^yr
M. Potier ') a remplacé cette hypothèse par Une autre, qui
revient également à une combinaison des propriétés que pos-
sèdent les corps conducteurs et les isolateurs. Je ne m'étendrai
pas ici sur cette question, qu'on ne saurait traiter à fond qu'en
étudiant assez minutieusement les propriétés optiques des
métaux.
Forces électromotrices.
§ 46. Plusieurs causes, parmi lesquelles on peut citer des
diflférences de température, des défauts d'homogénéité, et des
actions chimiques, donnent lieu à des forces qui agissent sur
l'électricité et dont on n'a pas tenu compte dans les équa-
tions des paragraphes précédents. Je réserverai à ces forces
le nom de forces électromotrices et je représenterai leurs com-
posantes par 36, 3), 3- Dans l'hypothèse du fluide électrique,
ces lettres indiqueront les forces auxquelles se trouve soumise
l'unité du fluide ; ou plutôt, dckdr, 3)Èdr, Sfcdr seront les
forces qui agissent sur le fluide contenu dans un élément de
volume. Le vecteur (36, 3), 3) sera regardé comme distribué
sur un certain espace, dans lequel il a partout une valeur finie.
Il est vrai que dans un grand nombre de cas cet espace se
réduit à une couche très mince, telle que celle dans laquelle
ont lieu les actions entre le zinc et l'acide sulfurique de nos
éléments, et qu'on peut simplifier le problème en néghgeant
l'épaisseur de la couche et en supposant la force infiniment
^) Poincaré, Electricité et Optique, T. 1, p. 190.
44 H. A. LORENTZ.
grande ; mais c'est là un artifice mathématique auquel je
ne m'arrêterai pas.
§ 47. Indépendamment de Thypothèse du fluide électrique,
on peut dire que le travail des forces électromotrices, qui
correspond à un déplacement virtuel du système tel qu'il a
été considéré aux paragraphes 15 et 16 est donné par l'intégrale :
/
{de v^ 4- 9) e, + 3e.) d r.
Si Ton entend maintenant par X\ F, Z les fonctions de
/', g et h ou de u, v et w qui sont définies par les formules
(25) et (26), c'est-à-dire si l'on pose:
X' =: Va^x f + ^'x,y g -h i^a:,z h, )
Y' — Vy^œj + Vy,y g ^ Vy^zh, (37)
Z •=. Vz^x] H- Vz.y g -\- VZyZ h.
OU, dans le cas d'un conducteur,
X' = "Aj-^x U -f- Xj-,y V 4- ilj',z W^ \
Y' = X,/,^ u + Xy,y V -i-Xy^zW,^ (38)
Z' = 'Az,a: U -i- itz,y V -h 1iz,z Wj ^
on devra substituer dans la formule fondamentale (3):
ÔA = -j\{T — dc^>ex+{r — ^)ey'h{Z — S)ez\dT
et dans les équations de mouvement (29) et (30) :
Xrz:X-X, Y=V'-% Z=Z-S.
§ 48. Les mêmes choses peuvent être exprimées de la façon
suivante.
Les formules (29) et (30) déterminent toujours les compo-
santes Jf, Y et Z de la force électrique qui provient de l'in-
compressibilité du fluide électrique et des liaisons entre ce
fluide d'un côté et les particules qui prennent part aux
mouvements électromagnétiques de l'autre. Tant que des forces
électromotrices n'existent pas, les forces X, F, Z seules pro-
duiront des déplacements diélectriques ou des courants de
conduction qui obéissent aux formules (25) ou (26). Dans le
cas contraire, c'est une force ( -X -f- 36, Y -^ ^} ^ + S) V^^
sera la cause de ces phénomènes; en posant alors
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 45
Z-h3e = X', F 4- 2) = F', Z + 3 = Z',
on retombe sur les équations (37) et (38).
Vitesse de la lumière dans Vcther,
§ 49. On reconnaîtra facilement que nos formules sont au
fond identiques à celles qu'on trouve chez Maocwell et chez
MM. Heamside et Hertz '). Elles doivent donc conduire aux
résultats bien connus sur lesquels Maxwell a établi sa théorie
électromagnétique de la lumière. Je ne m'étendrai pas ici sur
les fondements de cette conception importante et je me bor-
nerai à déduire de mes formules la vitesse de propagation de
la lumière dans Téther.
Pour ce milieu, les équations (25) prennent la forme:
Vq étant la valeur commune des coefficients vœ.x, vy^y, vz,z\
comme, de plus, la force et l'induction magnétiques se con-
fondent en un seul vecteur, les formules (30) deviennent:
^° \5 X dz) ~dt'
Des deux dernières on tire:
^ dx\dx^ dy'^ dz) \~dt\dy l z)'
ou bien, en ayant égard aux formules (22), (10) et (24),
*) Il faut citer encore un mémoire de M. Co/in, Zur Systematik der
Electricitâtslehre {Wied. Ann. Bd. 40, p. 625, 1890), dans lequel des
équations semblables sont prises pour point de départ.
46 H. A. LORBNTZ.
Cette équation et celles qui lui sont analogues donnent pour
la vitesse de propagation des vibrations électriques transver-
sales, c'est-iVdire pour la vitesse de la lumière,
On a donc
et l'énergie potentielle de Téther par unité de volume peut
être représentée par
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 47
CHAPITRE II.
Phénomènes électromagnétiques dans des
corps qui se trouvent en mouvement
et qui entraînent Téther contenu ->
dans leur intérieur.
Valeur de T énergie cinétique.
§ 50. Dans ce chapitre ') je nommerai matière tout ce qui
peut être le siège des courants ou déplacements de Télectricité
et des mouvements électromagnétiques. Ce nom sera donc
appliqué à Téther tout aussi bien qu'à la matière pondérable.
Dans les cas que nous allons étudier, il y aura deux classes
de phénomènes, bien distinctes. D'une part, nous aurons affaire
aux phénomènes électriques, tels qu'ils peuvent se présenter
aussi dans des corps immobiles; d'autre part, il y aura un
mouvement indépendant de toute action électrique et qui sera
appelé le mouvement de la matière.
En suivant l'exemple donné par M. Hertz dans son secondr
mémoire, je supposerai que l'éther contenu dans les espaces
intermoléculaires d'un corps pondérable participe au mouve-
ment de ce dernier. En d'autres termes, si à un moment
quelconque on fait cesser subitement tous les mouvements
qui constituent les phénomènes électriques, il restera un mou-
vement dans lequel tout ce qui est contenu dans un élément
de volume est animé d'une vitesse commune.
Les composantes de cette vitesse seront représentées par
f, iy, C Elles seront regardées comme des quantités données,
le mouvement de la matière étant supposé connu. Du reste,
je me bornerai aux cas où |, fj, C sont des fonctions continues
des coordonnées. Cela implique que deux corps qui se trouvent
*) Je me permets d'avertir le lecteur que les mu^ derniers chapitres
de ce mémoire sont entièrement indépendants de celui-ci et du troisième.
48 H. A. LORENTZ.
en contact ne doivent pas glisser l'un sur l'autre et que, par
exemple, un corps pondérable sphérique, placé dans un espace
d'où Tair a été éloigné, communique un certain mouvement
à l'éther environnant, non seulement lorsque le centre se dé-
place, mais aussi lorsque le corps tourne autour de ce point.
§ 51. Là position de la matière pourra être déterminée par
un certain nombre de coordonnées générales, que je nommerai
Pi > P2 ' ' -P^i ^^ îl ®st clair que, s'il n'y avait aucun phénomène
électrique, les composantes de la vitesse d'un point matériel
quelconque P seraient données par des expressions de la forme
QlPl -^ Q2P2 -^ ' • • ' -^ Q^ P^y
Q't Pi -H Q'î P2 + • • • • + Q'^P^,
Q"iPi+ Q".P2+ • . . • -hQ'^kpk,
les coefficients Q changeant avec la configuration du système.
Si, en revanche, la matière se trouvait en repos, mais qu'elle
fût le siège de courants électriques, aux composantes u, v et w,
on aurait pour les vitesses de ce même point P, comme au
paragraphe 13,
i: {A u-^ B V -^ C w)y
2: (^' w + jB' V -h C w\
2; (A"u + B"v 4- C w).
Or, je supposerai que, dans le cas où les courants électriques
u, V, w existent dans la matière qui est en mouvement, les
composantes de la vitesse d'un point matériel ont les valeurs :
Q, p, -i- . . . + Q/î- pit -+ 2" (4 u -h B V -h C w),
Q\ p, + . . . -h Q'jt pk -h 2; (A' u -h B' V -^ C w\
Q'\Pt-^ • . . +Q"kpk-h2:{A"u + B''v-h C'w).
§ 52. En partant de ces expressions, on trouve pour l'énergie
cinétique une valeur de la forme :
T=T, + T, + T,.
Le terme T, est ici indépendant des courants électriques,
tandis que T^ ne contient aucune des vitesses p^ , . . pjtde
la matière. Dans le second terme se trouvent les premières
LA THÉORIE éLBCTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 49
puissances de ces vitesses multipliées par les mêmes puissances
de u, V ei w.
Dans les questions dont je m'occuperai, le terme T, ne joue
aucun rôle et j'admettrai, comme le fit Maxwell dans sa thé-
orie des circuits linéaires, que le terme T^ s'annule. Je n'aurai
donc à parler que de 1* énergie T,, que je représenterai doré-
navant par T et qui est évidemment l'énergie que posséderait
le système si la matière était mise en repos sans que les cou-
rants en fussent changés.
Cette énergie peut donc être calculée de la manière que
j'ai exposée aux paragraphes 7 — 10. Il importe toutefois de
remarquer que, si on effectuait ce calcul pour des époques
successives, on obtiendrait pour T des valeurs différentes, non
seulement parce que la distribution des courants ne restera
pas la même, mais encore parce que, en vertu du mouvement
de la matière, les coefficients fi changent d'un instant à l'autre
dans un même point de l'espace.
Quantité d^êlectridtê qui traverse une surface.
§ 53. Dans les considérations du chapitre précédent, les
composantes du courant déterminaient les quantités d'électri-
cité qui se déplacent à travers des surfaces ayant une position
fixe dans l'espace. Dans le cas qui nous occupe actuellement,
elles nous donnent d'une manière analogue la quantité d'ê- ,
lectricitê qui traverse une surface qui est liée fixement à la
matih'e et se déplace avec elle, et dont, par conséquent, la forme
et les dimensions changent continuellement ').
^) Je crois pouvoir présumer que tous les physiciens sont d'accord sur
ce point. Si deux conducteurs sont reliés Tun à l'autre par un fil métal-
lique dans lequel il y a un courant de l'intensité i, la charge de l'un
subira par unité de temps une augmentation t, et celle de Tautre une
diminution égale; il en sera ainsi quelle que soit la vitesse d'un mouve-
ment qu'on imprime au système tout entier. On dira donc qu'une surface
séparant les deux conducteurs est traversée dans l'unité de temps par une
->
50 H. A. LORENTZ.
Si un élément d'une telle surface coïncide à l'instant t avec
un élément d (s dont la normale a pour cosinus directeurs p,
g, r, cet élément mobile sera traversé entre les moments t et
t -^ dt par la quantité d'électricité
{pu -i- qv -h rw)da dt.
Selon la théorie de Maxwell, la distribution du courant élec-
trique doit toujours être solénoïdale, ce qui s'exprime parles
équations (4) et (5). Dans le chapitre précédent, cette condi-
tion impliquait l'égalité des quantités d'électricité qui entrent
J-^ ' et qui sortent par une surface fermée, immobile dans l'espace ;
maintenant, la condition exige la même chose pour une surface
fermée qui se déplace avec la matière.
§ 54. Comment concilier les idées que je viens d'exposer
avec l'hypothèse d'un seul fluide électrique imprégnant toute
la matière? Il faudra, en premier lieu, admettre qu'un courant
électrique consiste, non pas dans le mouvement absolu d'un
tel fluide, mais dans son mouvement relatif par rapport à la
matière. En second lieu, il faudra renoncer à l'hypothèse de
l'incompressibilité et lui substituer une autre plus géné-
rale. En effet, la matière peut se mouvoir sans qu'il y ait
des courants électriques, et elle peut subir pendant ce mou-
vement un changement de densité. Dans ce dernier cas, le
volume limité par une surface fermée qui passe toujours par
les mêmes particules de la matière n'est pas invariable, et
cependant aucune quantité d'électricité ne franchit cette surface.
Au lieu de dire que le fluide électrique est incompressible, il
faudra donc admettre qu'une partie déterminée de la matière
en contient toujours la même quantité.
quantité d'électricité i; pour cette surface on peut prendre une section
du fil qui passe continuellement par les mêmes particules métalliques.
Mais, évidemment, la même chose ne sera pas, en général, vraie pour une
surface immobile.
LA THEORIE ELECTROMAGNéTIQUE DE MAXWELL. 51
Application du principe de d^Alembert,
§ 55. C'est de nouveau réquàtion générale (3) qui va nous
fournir les équations du mouvement.
Comme il ne s'agit pas de trouver les lois qui régissent
le mouvement de la matière,je me bornerai à des déplacements
virtuels auxquels elle ne prend point part. Ce n'est que V^
l'électricité et les particules animées des mouvements électro-
magnétiques qui en seront affectées, et les changements de
position seront détermmés au moyen des quantités e^-, e^, e«,
absolument de. la même manière que dans le chapitre précé-
dent. Il est facile de s'assurer que la variation S' T est toujours
donnée par la formule
d' T = j{Fe:c'^Gey'hHez)dr,. . . . . . (39)
les fonctions i'', G et fl étant déterminées, comme auparavant,
par les formules (14).
§ 56. Cependant, dans le calcul de la dérivée
dd'T
dt '
je ne supposerai plus qu'à l'instant t -^ dt les quantités e;t,
ey, ez aient les mêmes valeurs qu'à l'instant t. Il est vrai
que, tant que la distribution du vecteur e demeure solénoïdale,
on est entièrement libre dans le choix des composantes et
qu'elles pourraient par conséquent être prises indépendantes
du temps, mais le calcul du terme S T dans la formule (3)
en deviendrait assez difficile.
Il est plus commode de donner aux composantes relatives au
temps t + dt de telles valeurs e'^r, e'y, eV, qu'un élément de
surface quelconque, qui se déplace avec la matière, soit tra-
versé par la même quantité d'électricité en vertu du dépla-
cement (e;r, Cy, ^z) à l'instant t et en vertu du déplacement
(©'^, ©V> ®'^) ^ l'instant t + dt.
On reconnaîtra immédiatement, d'abord, que le vecteur
(eV, e'y? e'^) se trouve ainsi complètement déterminé dès que
le vecteur (e^r, e^, e^?) a été choisi, le mouvement de la matière
4*
52 H. A. LORBNTZ.
pendant le temps d t étant connu, et, en second lieu, que la
distribution de Tun des deux vecteurs est solénoïdale si
Tautre jouit de cette propriété.
§ 57. Grâce au choix que je viens de faire, le terme i T
dans l'équation fondamentale s*annule, si du moins on adopte
Thj^pothèse suivante, qui n^est autre chose qu'une généralisa-
tion de celle de Maxwell (§ 2):
Si, après des mouvements quelconques, la matière est ra-
menée à sa configuration primitive, et si, dans le cours de ces
mouvements, chaque élément de surface qui est fixement lié à
la matière a été traversé par des quantités égales d'électricité
en directions opposées, tous les points du système se retrou-
veront dans leurs positions primitives.
§ 58. Pour démontrer que cette hypothèse donne effectivement
5r=o,
je donne aux signes W,, JF^, TF',, TF 2 les mêmes significations
qu'au paragraphe 19 et je me représente de nouveau la suc-
cession des déplacements
W, -. TF„ PF, -. TF,, ÎF, -. TT, ; (40)
le mouvement varié sera alors celui qui ramène le système
à la configuration W ^^ dans un temps dt.
Or, on voit immédiatement que le mouvement varié de la
matière ne diffère pas du mouvement réel.
D'un autre côté, un élément de surface quelconque, qui se
déplace avec la matière, est traversé par des quantités égales
d'électricité pendant les déplacements TF, — ► TF, et W^ — v TF^.
Si donc, après avoir donné au système les déplacements (40),
on fait en sorte qu'un tel élément soit traversé par la même
quantité d'électricité que dans le déplacement TF, — ► TF^, la
somme algébrique des quantitées d'électricité qui ont succes-
sivement traversé l'élément sera 0 et, en vertu de notre hy-
pothèse, la position W\ se sera rétablie. Il en résulte que les
composantes du courant ont dans le mouvement varié les
mêmes valeurs que dans le mouvement réel et que,par conséquent,
ÔT=Q.
LA THÉOUIK ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 53
§ 59. Soit de nouveau
— j {Xea; -h Yey H- Zez) d v
le travail des forces pendant le déplacement virtuel (tv, Py, e^;);
alors Téquation (3) devient:
— j{Xe^ + Yey + Zez)dr = ^^-J(Fe:, + Ge^ + flo.)dr(4l).
Supposons que le vecteur e soit distribué de la façon par-
ticulière indiquée au paragraphe 25. Si Ton fait se mouvoir
avec la matière le tube annulaire dont il fut question dans
ce paragraphe, l'axe coïncidera après le temps dt avec une
nouvelle ligne fermée et, au lieu de a>, le tube aura une
section droite co'. D'après ce qui a été dit sur e'x, e'y, e'r, il Jc^
faudra que le vecteur e', dont ces quantités sont les compo-
santes, soit borné au nouveau tube, qu'il ait la direction du
nouvel axe s' et que le produit e' w' soit partout égal au
produit eœ dans le tube non déplacé.
Or l'intégrale
/
{Fea: -h Gey -h Hez)dT
prend (§25) à l'instant t la valeur:
eco j{Fp + Oq-h Hr)ds,
et à l'instant t -i- dt elle devient
e' œ' ({Fp-j-Gq-h Hr)d8\
l'intégrale étant étendue à la ligne primitive dans la première
expression et à la ligne déplacée dans la seconde, et les
valeurs de F, G et H se rapportant respectivement aux mo-
ments t et t -h dt.
Il s'ensuit qu'au lieu de
d f
-r: j {Fe:c -h Gey -i- Hez)dT
il est permis d'écrire
54 H. A. LORENTZ.
eœ-r j {Fp -h Gq-^ Hr)d8,
où le signe d indique l'accroissement total de l'intégrale causé
par la variation de F, G et H et par le déplacement de la ligne s.
Le premier membre de l'équation (41) se transforme en
— eco|(Xp+ Yq-\-Zr)d8,
et la formule devient:
— |(Xp+ Yq-hZr)d8 = j~J{Fp+ Gq^ Hr)d8.
Elle se simplifie encore si l'on conçoit une surface (t limitée
par la ligne 8 et se déplaçant également avec la matière.
En vertu des relations (14), on a
[{Fp-^- Gq'hHr)d8 = JBnda,
ce qui donne:
-|(Xp-h Yq^Zr)d8:=~fBnd(s (42)
Ici encore, le signe d indique le changement total de l'in-
tégrale. Pour le calculer, il faudra tenir compte, d'une part,
du changement de l'induction magnétique, et, d'autre part, du
déplacement de la surface a.
§ 60. De la formule (42) aux équations définitives du
mouvement il n'y a qu'un pas. On peut d'abord admettre qu'à
l'instant t la surface cr coïncide avec un rectangle infiniment
petit dont les côtés sont parallèles à deux axes des coordon-
nées et qui n'est pas coupé par une surface de discontinuité. En
regardant toutes les quantités variables comme des fonctions
de t et des coordonnées x, y, z d'un point immobile, on trouve
ainsi (voir § 61)
LA THÉORIE ÉLRCTKOMA(iNÉTIQUE DE MAXWELL 55
■^ ^ Va; "^ 3^ "^ dz) '
ZZ ZX dh d ,^, , D , ^,,
+ .U-„ + .T. + |),
06
DX or Oc 0 ,^ ^ , 0 ,^- ,
ô^-o-r=oi^-o-^<^''-^«)-ô^(^^-^'') +
.(43)
■^ ^ \Ô^ "*■ Dy "^ Ô^y '
En second lieu, on peut donner à la surface es la forme
d'une bande étroite comprise entre deux lignes qui se trouvent
de part et d'autre d'une surface de discontinuité. Si ces lignes
s'approchent de plus en plus d'une même ligne située dans la
surface, l'intégrale
/
^nd(5
tend vers la limité 0 et on est conduit à la condition
{Ra),=(Ra)2,
R étant la „force électrique" (X, Y^ Z) Ç^i h indiquant une
direction quelconque dans la surface de discontinuité.
Les équations (43) expriment la même chose que les formules
(Itf) du second mémoire de M. Hertz. Elles n'en diffèrent que
par la notation, le choix des unités et la position relative
des axes des coordonnées.
Du reste, comme nous n'avons nulle part supposé l'exis-
tence de ^magnétisme libre", nous pourrions encore simplifier
les formules en y substituant.
D a 0 6 Oc ^,
0 X 0 y d z
§ 61. Il suffira d'indiquer rapidement comment on arrive à
la première des équations (43).
Figurons-nous qu'à l'instant t la surface a se confond avec
5() H. A. LORKNTZ.
un élément rectangulaire dydz, perpendiculaire à Paxe des x
et situé au point [x, y, z) ; alors, à Tinstant t + dt, la surface
passera par le point {x-^^dt, y + ydt, z + C d 0» 'a normale
fera avec Taxe des x un angle infiniment petit et avec les
axes des y et des z des angles
} TT + y d < et J TT H- ^ d «,
' dy d z
et Taire de la surface sera devenue
Désignons par a la valeur de la première composante de
rinduction magnétique au point (a?, y, z) et à Tinstant t, et par
\dt 0 X 0 y czj
la valeur de cette même composante au point (x -h | d f,
y -^ ydtj 2 -h f d <) et au moment t -\- dL
Alors la valeur de Tintégrale j Bnda, qui est d'abord
ady dz,
devient au bout de Tintervalle dt:
Valeur de la force électrique.
X§ 62. Tant qu'il s'agit de corps conducteurs, dans lesquels
la ^résistance" seule s'oppose au mouvement de l'électricité,
on n'a rien à changer à ce qui a été dit dans le chapitre
précédent. Les diélectriques, au contraire, demandent de nou-
velles considérations.
Conformément à l'idée énoncée au paragraphe 53, il est
naturel d'admettre que le dérangement électrique de l'état
naturel d'un isolateur est déterminé dès qu'on connaît, pour
chaque élément de surface fixement lié à la matière, la quan-
LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 57
tité totale d'électricité par laquelle il a été traversé à partir
d'un moment où le corps se trouva encore à Tétat naturel.
Je désignerai par
fdydz
la valeur de cette quantité pour un élément de surface qui
coïncide à l'instant t avec un rectangle dont les côtés dj/ et
d z sont respectivement parallèles aux axes 0 Y et 0 Z. lS,n
définissant les quantités g et h d'une manière analogue, on
peut dire que le diélectrique aurait été amené à l'état où il
se trouve actuellement si, après avoir donné à la matière la
position qu'elle occupe à l'instant <, on eût fait naître un dé-
placement diélectrique D, aux composantes /, jr, h. L'énergie
potentielle par unité de volume sera donc toujours donnée
par l'expression (21) et le travail des forces pourra être re-
présenté comme il a été fait au paragraphe 59, si on prend
pour X, Y et Z les valeurs (25). En effet, la matière elle-même /
ne prend point part au déplacement virtuel que nous avons \
imposé au système; les quantités/, g et h, telles que je viens ;
de les définir, recevront par conséquent dans ce déplacement \
les accroissements ea:,ey,eg. V
Relations entre les œmposantes du courant et celles
du déplacement diélectrique.
§ 63. Les formules (24) ne sont plus applicables aux dié-
lectriques en mouvement. Il leur faut substituer des équations
moins simples auxquelles on arrive par le raisonnement sui-
vant. La définition que j'ai donnée dans le dernier paragraphe
conduit à représenter par
/
Dnda
la quantité d'électricité qui, à partir de l'état naturel, a tra-
»
versé une surface limitée quelconque, liée à la matière.
58 H. A. LORENTZ.
La dérivée
d
dtl^'"^"'
prise clans le même sens que la dérivée
qu'on trouve dans la formule (42), sera donc la quantité
d'électricité qui traverse la surface par unité de temps, cette
surface se déplaçant toujours avec la matière.
Pour calculer les valeurs de udy dz, vdzdx, wdxdy, il
suflBra donc de rechercher ce que devient cette dérivée, si à
l'instant t la surface d a coïncide avec un rectangle infiniment
petit dont les côtés sont parallèles à deux axes des coordon-
nées. En suivant la marche qui a été indiquée au paragraphe
61, on trouvera: ^
Si l'on introduit ces valeurs dans les équations (10) celles-ci
deviennent identiques aux formules (1^) établies par M. Hertz
dans son second mémoire.
> Après avoir ainsi reproduit les formules fondamentales de
M. HertZj il est juste de mentionner que ce n'est qu'après
avoir lu son mémoire que j'ai entrepris cette étude des corps en
mouvement. J'avais ainsi l'avantage de connaître d'avance
les résultats qu'il faudrait chercher à obtenir.
dg d
v = — -I
dt dz
LA THEORIE ÉLECTROMAGNETiqUE DE MAXWELL. 59
CHAPITRE III.
Examen d'une hypothèse qui a été faite
aux chapitres précédents.
§ 64. H n'est pas inutile de considérer de plus près la sup-
position dont Maxwell s'est servi dans sa théorie des circuits
linéaires et que j'ai reproduite, sous des formes plus générales,
aux paragraphes 18 et 57.
Même dans le cas que j'ai traité au premier chapitre, cette
hypothèse n'est pas aussi plausible qu'on pourrait le croire
au premier abord. En effet, il y a dans la mécanique ordi-
naire des cas bien simples où une supposition analogue con-
duirait à des résultats erronés.
Considérons, par exemple, le mouvement d'un fluide incom-
pressible dont la densité est q. Désignons par uda dt, v da dty
w dadt les quantités du fluide^ exprimées par le volume qu'elles
occupent, qui, pendant le temps d i, traversent des éléments de
surface, respectivement perpendiculaires à 0 Z, 0 F et 0 Z
et eux-mêmes immobiles ; u, v etw seront alors les composantes
du courant. Représentons par Xdr, Fdr, Zdr les compo-
santes de la force extérieure qui agit sur un élément de
volume, et cherchons à établir les équations du mouvement
en partant de la formule générale (3). Les variables u, v, Wy
X^ Y et Z seront regardées comme des fonctions de t et des
coordonnées x, y, z d'un point immobile.
Un déplacement virtuel peut être défini au moyen des
quantités infiniment petites du fluide qui traversent des élé-^
ments de surface perpendiculaires aux axes des coordonnées;
rapportées à l'unité de surface et exprimées par le volume
du liquide, elles seront indiquées par e;r, ©y, ©;?. Elles doivent
satisfaire à la même condition que les quantités analogues du
premier chapitre et il est évidemment permis de les regarder
comme indépendantes du temps. On aura alors:
60 H. A. LORKNTZ.
§ 65. Si, après des mouvements quelconques pendant lesquels
chaque élément de surface immobile a été en somme traversé
dans des directions opposées par des quantités égales du fluide,
chaque particule se retrouvait dans sa position primitive, ou
pourrait démontrer que iîTzrO, comme dans le premier cha-
pitre. Cependant cette hypothèse ne se vérifie pas et 5 T prend
une valeur que nous allons calculer.
Donnons à W^, W^^ 1^,', W^' la signification que nous
connaissons déjà et nommons x^ y Qi z les coordonnées d'une
particule du fluide dans la position W^. Alors les coordonnées
de ce point seront:
dans la position W^ :
X -^ udi, y -{- V dtj z -h wdty
dans la position W/:
et dans la position W^':
j ^ f^^x 0 ©or <^ 6;r \ 7 ^
x-^udi^^x-^[':r^u-^~v ^ -^ w\di,
\ox dy 0 z /
^ ^ \dx dy d z /
,, /?er 0©;? ^©^ \j.
Z-\'Wdt-^ez'i-{-:r— U-h -:r- V -^ ':r- W ] d t.
\ox dy dz J
Il a fallu ajouter les termes:
( -TT— u 4- -:r— v-i- -:r- w ] dty etc.
\dx dy d z /
parce qu41 s'agissait des valeurs de e^:, e^, e^ au point où la
particule considérée se trouve dans la position W.^.
Les expressions précédentes donnent pour les vitesses de la
particule dans le mouvement varié:
LA THEORIK ELECTRONf AGNETIQUE DE MAXWELL. 61
dx cy d z
dx dy Dz ' '
dx dy d z
Or, si en un même point de l'espace les vitesses étaient
les mêmes dans le mouvement varié et dans le mouvement
réel, on aurait dû trouver au lieu de ces expressions:
du du du
tt H- r— e^r -h r— ey -h -^~- er, etc.
d X d y ^ d z
§ 6fi. Après avoir, obtenu les valeurs (44) on peut procéder
comme il suit. On a d'abord
^ J I \ dx . dy dz J
\ dx dy d z J
V d x . d y dz / )
Ici, on peut intégrer par parties. En supposant qu'aux limites
du fluide e^- = ey = e^ = 0 et se rappelant que :
du dv d w ^
;r- 4- r- -h -T- = 0,
d X dy dz
on trouve :
J I \ d X dy dz J
rd V d V d V\
/ d V d V d V\
\ dx dy dz J
(d W dw d W\ i ,
n T \'V -. -H ^ r— 1 la T.
dx dy d z J 1
62 H. A. LORENTZ.
En fin de compte, Téquation (3) devient:
/\ /d U du du d U\
-h
/d V d V d V d V\
\d t dx dy d Z J ^
(dw d W d W d W\ ] ,
d t d X d y d Z / )
Il est facile d'en déduire les équations du mouvement sous
leur forme ordinaire. On s'apercevra que Vhypothèse en ques-
tion, loin d'être vraie, conduirait à l'omission des termes
d u du du ,
U h V r h ^ r— , etc.
d X dy dz
§ 67. Si cette hypothèse ne peut pas être admise dans le
cas d'un fluide ordinaire, elle ne pourra non plus être appliquée
au fluide électrique. Cependant, cela n'empêche pas que nos
équations du mouvement ne puissent être exactes. En effet,
la masse de ce dernier fluide a été supposée négligeable, et dans
le calcul de la variation 3 T il ne s'agissait que de l'énergie
cinétique qui est propre aux mouvements électromagnétiques ;
il suffira donc que les points matériels qui sont chargés de
ces mouvements, et qu'il ne faut pas confondre avec l'élec-
tricité elle-même, jouissent de la propriété de revenir aux
mêmes positions si pour chaque élément de surface la somme
algébrique des quantités d'électricité par lesquelles il a été
traversé, est 0.
Or, on est entièrement libre d'essayer sur le mécanisme qui
produit les phénomènes électromagnétiques telle supposition
qu'on voudra, et tout en reconnaissant la difficulté d'imaginer
un mécanisme qui possède la propriété désirée, il me semble
qu'on n'a pas le droit d'en nier la possibilité.
§ 68. Cependant, cette hypothèse que nous discutons, est-
elle vraiment inévitable si l'on veut voir s'annuler le terme
8 Ty ce qui semble nécessaire pour obtenir des équations
LA THÉORIE ELECTKOM AGNETIQUE DE MAXWELL. 63
qui s'accordent avec les expériences? Je vais démontrer, en
me bornant pour le moment aux corps immobiles, qu'on peut
au besoin recourir à une autre suppositon.
Revenons pour cela aux formules (16). Les coefficients
AyByCyA^..,. qu'elles contiennent changeront avec la con-
figuration du système et on peut indiquer par S A, SB, d C,
d A\ . . . , les changements qui surviennent pendant le dépla-
cement W, — ► W^\ et par d A, d B, d C, d A\ . . . ceux qui
ont lieu pendant le mouvement réel TF, — > W^.
Cela établi, on peut écrire pour la première coordonnée d'une
particule déterminée:
dans la position W^i x;
dans la position W^' x-{-2:{Au-{'Bv-\'Cw)dt;
dans la position ïT,': x -\- 1: {A ea: -{- B e^ -{- Ce^), et enfin
dans la position W^:
x-hi;(Au-^Bv-^ Cw)dt^
-h 2: (il e;r H- £ Cy H- Cez) -^ 2: {d A,ex + d B, e^ 4 d C. e/).
n en résulte que le déplacement de la particule dans la
direction des x est, pendant le mouvement varié:
2:{Au ^ B V -h Cw)dt'^ 2:{dA.^,x -^ dB,ey-^d C. ez) . (45)
D'un autre côté, on peut indiquer facilement quel serait ce
déplacement si, à partir de la position TT,', il existait dans le
système, pendant l'intervalle dt, un système de courants
(tt, V, w) identique à celui qu'on trouve dans le mouvement
réel. A la position W ^' correspondent les valeurs:
^ -h 5 .4, B -h « B,
et le déplacement qu'il s'agit d'indiquer serait donc:
2: {Au -^ B'v -{- Cw)dt -^ i: {8 A.u -^ à B.v -^ S C.w)dt (46).
§ 69. Si les expressions (45) et (46) sont identiques, et s'il
en est de même des expressions analogues par lesquelles on
peut représenter des déplacements parallèles à 0 F et OZ^ le
mouvement varié sera celui auquel se rapporte l'expression
(46) et on aura 5 7=0, parce que l'énergie cinétique est dé-
terminée par les composantes du courant. L'hypothèse du
Sx
64 H. A. LORENTZ.
paragraphe 18 conduit à cette simplification parce qu'elle
donne lieu à Tégalité:
2: {dA.ea^-h dB.ey-i- d C. ez) = 2; {Ô A.u -^ Ô B.v -h S C.w)dL
Pourtant, il n'est pas nécessaire que cette égalité existe.
Les vitesses de la particule considérée, dans le mouvement
réel, sont
x = i:{Au H- Bv 4- Cw),
y = 2;{A'u -hB'v -h Cwl
z = 2:{A''u + B''v -h C" w\
et si les vitesses dans le mouvement varié sont x -i- ix,
• • • •
y + !fy, 24- S z, 1 expression (45) donne
^/dA dB dC \
Les variations dy et dz peuvent être mises sous une forme
analogue, et on peut calculer la valeur de
dT=2;m(xÔX'^ydy -^zdz) . . . . . . (48).
Voici maintenant un système d'hypothèses qui donnent pour
cette variation la valeur 0:
\ a. II y a deux systèmes de particules qui prennent part
aux mouvements électromagnétiques, systèmes qui seront in-
diqués par les lettres N et N'.
b. A chaque moment, une particule quelconque appartenant
à Tun de ces systèmes se trouve dans le voisinage immédiat
d'une particule de masse égale qui fait partie de l'autre.
c. Les deux systèmes ont toujours des mouvements égaux
en sens inverse, ou, pour nous exprimer plus exactement:
Si deux mouvements de même durée commencent avec les
mêmes positions initiales et ne se distinguent que par le
signe des composantes du courant électrique, et si P et P'
sont des points appartenant aux systèmes N et N' et coïncidant
dans la configuration initiale, le point P' atteindra, dans le
second mouvement, la même position finale que le point P
dans le premier mouvement.
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 65
Cela implique évidemment qu'au moment de la coïncidence
les points P et P' ont des vitesses égales et opposées. En
effet, en changeant les signes de u, v, w, on renverse la vitesse
du point P"(§ 13); mais, selon la dernière hypothèse, cette
vitesse doit alors devenir égale à celle qu'avait d'abord le
point P'.
Remarquons encore que, dans le cours d'un certain mou-
vement, ce sera chaque fois une nouvelle particule P' qui
coïncide avec une particule déterminée P. Deux roues juxta-
posées, qui ont des rotations égales et opposées autour du
même axe, peuvent servir d'exemple.
§ 70. Pour démontrer que [ces hypothèses conduisent à
aT=o,
nous allons comparer deux mouvements différents du système.
Les lettres TF,, TFj» ^i » ^^2 seront appliquées au premier
cas et les signes (TT,), (WJ, {W x) ^^ (^2) indiqueront les
mêmes choses pour le second cas.
Supposons que les positions W^ et (TT,) soient identiques
et que, dans les deux mouvements, chacune des quantités
u, V, w, e^, Oy, %z ait les mêmes valeurs, mais des signes
opposés.
Alors les mouvements TT, — ► TT/ et {W^)-^ [W^') se dis-
tingueront l'un de l'autre de la manière qui a été indiquée
dans la troisième hypothèse du paragraphe précédent; il en
sera de même des mouvements qui consistent, l'un dans la
succession des déplacements TT, — ► TT, et TF, — ► W^\ l'autre
dans la succession de [W^)-->{W^) et {W^)-^{W^y II en
résulte que, si deux particules P et P' coïncident dans la po-
sition Wj ou (W,), l'une de ces particules se déplacera dans
le mouvement varié W,'— ► W^' de la même manière que
l'autre dans le mouvement varié ( W,') — ► ( Wj'); comme, de
plus, les masses de P et de P' sont égales, le mouvement
varié aura, dans les deux cas, la même énergie cinétique.
On trouve donc : ,
8T={8T), (49)
5
66 H. A. LORENTZ.
OÙ les deux membres se rapportent aux deux cas que nous
voulions comparer Tun à l'autre.
D'un autre côté, on peut appliquer les formules (47) et (48).
On se rappellera que, pour une particule déterminée qui prend
part aux mouvements électromagnétiques, les coefficients A^
B, Cj etc. sont des fonctions des coordonnées.
Les dérivées -r^, -tt> tt» etc. qu'on trouve dans les
dt ai dt ^
équations (47) et dans les expressions analogues pour 5 y, 5 z
seront, par conséquent, des fonctions homogènes et linéaires
• • •
de u, v, w, et comme il en est de même de x, y, 2, la formule
(48) conduit à
5T= — (5T),
ce qui, avec l'équation (49), donne
5 5r=0.
§ 71. Les hypothèses dont je viens de me servir introduisent
dans la théorie un certain dualisme, auquel on est amené si
souvent par l'étude des phénomènes électriques. En effet,
elles ressemblent un peu à l'ancienne idée de deux fluides
électriques qui se déplacent avec des vitesses égales et oppo-
sées. Seulement, il ne s'agit pas maintenant de fluides élec-
triques, mais des mouvements électromagnétiques. Si, comme
il est fort probable, ces mouvements sont des rotations autour
des lignes de force magnétiques, les hypothèses reviennent à
ce que, dans un espace quelconque, il y a toujours des rota-
tions de directions opposées et qu'il ne peut exister aucun
effet qui serait causé par des rotations dans une seule direction.
§ 72. Dans les cas où la „ matière" elle-même (Chap. II)s6
déplace, l'hypothèse du paragraphe 57 donne lieu à quelques
remarques nouvelles.
Soit B un circuit linéaire et fermé, dont le mouvement est
tellement restreint que la position peut être déterminée à
l'aide d'un seul paramètre p ; soient, de plus, i la quantité d'é-
lectricité qui, à partir d'un certain moment fixe, a traversé
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 67
une section passant toujours par le même point du conduc-
teur, et X la première coordonnée d'un des points matériels P
du milieu. L'hypothèse exige que Ton ait:
Cela posé, je donne au système, Tun après Tautre, les dé-
placements suivants :
a. Tandis que le conducteur se trouve dans le voisinage du
point P (position I), une quantité d'électricité t est amenée à
travers chaque section.
6. Le conducteur est éloigné à une très grande distance du
point P.
c. Pendant que le conducteur est retenu dans la nouvelle
position (position II), on fait passer à travers chaque section
une quantité d'électricité — t,
d. Le circuit est ramené dans la position I.
Si les déplacements 6 et d n'ont été accompagnés d'aucun
courant électrique, la coordonnée x aura repris la valeur ini-
tiale. Donc, si AaX, Abx, etc. sont les variations successives
de cette coordonnée:
Aa X -^^ Ab X -^ Ac X -h Ad X •= 0,
Or, comme la distance du circuit au conducteur est beaucoup
plus grande dans la position II que dans la position I, la
variation Ac x sera beaucoup plus petite en valeur absolue que
la variation Aax; les déplacements Abx et Adx ne sauraient
donc être 0.
C'est là, du reste, une chose très naturelle dans une théorie
qui suppose que le conducteur ne peut se mouvoir sans pousser
devant lui l'éther ambiant. Ce qu'il y a de remarquable dans
le résultat obtenu, c'est que le déplacement du milieu qui est
causé par un mouvement du conducteur doit être tel qu'il
peut compenser le déplacement dû à un courant électrique.
§ 73. Si toutes les coordonnées des points mobiles du milieu
sont des fonctions de p et de e, on trouve pour les trois par-
ties dans lesquelles l'énergie cinétique peut être décomposée:
5*
68 * H. A. LORKNTZ.
.,=,^..»[(|-;)V(||)V(ii)'],
n=o..»[G-:)'-.(if)'-.Cr:y],
•OÙ ou ït mis i au lieu de A
De ces trois expressions, la deuxième doit être 0. Voici deux
hypothèses par chacune desquelles on peut satisfaire à cette
condition.
a. Chaque point mobile du milieu se trouve toujours jux-
taposé à un autre d'une masse égale. Les liaisons dans le
système sont telles que ces deux points sont déplacés égale-
ment et en directions opposées par un mouvement électrique,
mais qu'ils se meuvent de la même manière si ce n'est que
le circuit qui se déplace.
En distinguant par les indices 1 et 2 ce qui se rapporte à
l'un ou à l'autre de deux points coïncidents, on a :
Da;, d X2 Oy, 0 2/2 ^2;, dz^
dp dp* dp dp' dp Dp'
dx^ dx^ dy^ dy^ dz^ 0 252
de de de de de de
ce qui fait : T^ =0.
b. Dans les cas qu'on peut réaliser, les produits^ —> ^:r-^,
p — sont si petits par rapport aux quantités :
.d X .dy ,d Z
*-^' ^^» ^■^-,
de de de'
qu'ils peuvent être négligés.
Alors, bien que T^ ne s'annule pas rigoureusement, il sera
permis de négliger cette partie de l'énergie cinétique vis-à-
vis de la dernière partie T^.
A plus forte raison, on pourra négliger T,. C'est un avantage
de cette seconde hypothèse, que la première ne présente pas.
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 69
Il est facile de s'assurer que p — peut être beaucoup moin-
D X
dre que i — . Prenons par exemple
a; =r qp 1/;,
où (p est une fonction de j:; et i// une fonction de i. Alors on aura :
0 q>
• 0 X
dp
^3p
— P
(P
.0 X
D iff
'de
dtp
de
de
xp
Or, la fonction
1/,
peut être rendue aussi considérable qu'on le désire; on n'a
qu'à admettre que la fonction \p change très rapidement par
un accroissement de e.
Du reste, on pourrait essayer de remplacer l'hypothèse du
paragraphe 57, par des suppositions analogues à celles que j'ai
indiquées au paragraphe 69.
70 n. A. LORENTZ.
CHAPITRE IV.
Théorie d'un système de particules chargées
qui se déplacent à travers Téther sans
entraîner ce milieu.
Considérations préliminaires.
§ 74. Il m'a semblé utile de développer une théorie des
phénomènes électromagnétiques basée sur l'idée d'une matière
pondérable parfaitement perméable à l'éther et pouvant se dé-
placer sans communiquer à ce dernier le moindre mouvement.
Certains faits de l'optique peuvent être invoqués à l'appui de
cette hypothèse et, bien que le doute soit encore permis, il im-
porte certainement d'examiner toutes les conséquences de cette
manière de voir. Malheureusement une difficulté bien sérieuse
se présente dès le début. Comment, en effet, se faire une idée
précise d'un corps qui, se déplaçant au sein de l'éther et
traversé par conséquent par ce milieu, est en même temps
le siège d'un courant électrique ou d'un phénomène diélec-
trique? Pour surmonter la difficulté, autant qu'il m'était pos-
sible, j'ai cherché à ramener tous les phénomènes à un seul,
le plus simple de tous, et qui n'est autre chose que le
mouvement d'un corps électrisé. On verra que, sans appro-
fondir la relation entre la matière pondérable et l'éther, on
peut établir un système d'équations propres à décrire ce qui
se passe dans un système de tels corps. Ces équations se
prêtent à des applications très variées qui feront l'objet des
chapitres suivants ; elles nous fourniront une déduction théorique
du ^coefficient d'entraînement" que Fresnel introduisit dans
la théorie de l'aberration. Il suffira, dans ces applications,
d'admettre que tous les corps pondérables contiennent une
multitude de petites particules à charges positives ou négatives
et que les phénomènes électriques sont produits par le dépla-
cement de ces particules. Selon cette manière de voir, une
L4 THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 71
charge électrique est constituée par un excès de particules
dont les charges ont un signe déterminé, un courant électrique
est un véritable courant de ces corpuscules et dans les isola-
teurs pondérables il y aura „ déplacement diélectrique" dès
que les particules électrisées qu'il contient sont éloignées de
leurs positions d'équilibre.
Ces hypothèses n'ont rien de nouveau en ce qui concerne
les électrolytes et elles offrent même une certaine analogie
avec les idées sur les conducteurs métalliques qui avaient
cours dans l'ancienne théorie de l'électricité. Des atomes des
fluides électriques aux corpuscules chargés la distance n'est
pas grande.
On voit donc que, dans la nouvelle forme que je vais lui
donner, la théorie de Maxwell se rapproche des anciennes idées.
On peut même, après avoir établi les formules assez simples
qui régissent les mouvements des particules chargées, faire
abstraction du raisonnement qui y a conduit et regarder ces
formules comme exprimant une loi fondamentale comparable
à celles de Weber et de Clausius. Cependant, ces équations
conservent toujours l'empreinte des principes de Maxwell,
Weber et Clausius regardaient les forces qui s'exercent entre
deux atomes d'électricité comme déterminées par la position
relative, les vitesses et les accélérations que présentent ces
atomes au moment pour lequel on veut considérer leur action.
Les formules, au contraire, auxquelles nous parviendrons ex-
priment d'une part quels changements d'état sont provoqués
dans l'éther par la présence et le mouvement de corpuscules
électrisés; d'autre part, elles font connaître la force avec la-
quelle l'éther agit sur l'une quelconque de ces particules. Si
cette force dépend du mouvement des autres particules, c'est
que ce mouvement a modifié l'état de l'éther; aussi la valeur
de la force, à un certain moment, n'est-elle pas déterminée par
les vitesses et les accélérations que les petits corps possèdent
à ce même instant; elle dérive plutôt des mouvements qui
ont déjà eu lieu. En termes généraux, on peut dire que les
72 H. A. LORBNTZ.
phénomènes excités dans Téther par le mouvement d'une
particule électrisée se propagent avec une vitesse égale à celle
de la lumière. On revient donc à une idée que Oatbss énonça
déjà en 1845 et suivant laquelle les actions électrodynamiques
demanderaient un certain temps pour se propager de la particule
agissante à la particule qui en subit les effets.
Hypothèses fondamentales.
§ 75. a. Les particules chargées seront regardées comme
(tétant de la , matière pondérable" à laquelle des forces peuvent
être appliquées ; cependant, je supposerai que dans tout l'espace
occupé par une particule se trouve aussi Téther, et même qu'un
déplacement diélectrique et une force magnétique, produits par
une cause extérieure, peuvent exister dans cet espace comme
si la ^matière pondérable" n'y existait pas. Cette dernière est
donc considérée comme parfaitement perméable à ces actions.
6. Je désignerai par f, g et h les composantes du déplace-
ment diélectrique dans Téther, et je prendrai (§ 49) pour l'é-
nergie potentielle du système la valeur
2nV^j(P+g^+h^)dr,
V étant la vitesse de la lumière dans l'éther. Dans tous les
points extérieurs aux particules on aura
^f ^9 ^h ^ •
r^-hr^H-^=0, (50)
mais je suppose (§ 43) qu'à l'intérieur d'une particule cette
équation doit être remplacée par
^/ ^9 ^^
où Q désigne quelque quantité propre au point considéré de
-^ la particule et à laquelle il nous est impossible de rien changer.
Cette quantité q sera appelée la densité de la charge électrique.
LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 73
Pour simplifieï» les calculs, cette densité sera regardée comme
une fonction continue des coordonnées; on supposera donc
que la valeur de ç, 0 à l'extérieur d'une particule et positive
ou négative à l'intérieur, ne présente pas une transition brusque j^
à la surface. Cette dernière hypothèse nous donne le droit de
regarder comme continues toutes les variables qui dépendent
des coordonnées.
Du reste, x, y et z désigneront les coordonnées d'un point
immobile dans l'espace. En général, toutes les quantités vari-
ables seront des fonctions de x, y, z et du temps t,
c. Les particules se comporteront comme des corps rigides ; v
elles ne pourront donc avoir d'autre mouvement qu'une
translation et une rotation. Dans ce mouvement, chaque point
d'une particule conservera la même valeur de q. Les valeurs
d® Si 9 ^^ ^ dans l'éther, lui-même immobile, doivent changer
de telle façon que ce soit chaque fois dans un nouveau point
de l'espace qu'il est satisfait à l'équation (51).
d. Je désignerai par |, 17 et C les composantes de la vitesse
d'un point d'une particule chargée, et je supposerai que le
^courant électrique" — c'est-à-dire le vecteur qui donne lieu
à une énergie cinétique de la grandeur à indiquer tantôt —
a pour composantes:
« = ç|+g^, V = çrl + f^, «, = çÇ + _..(52),
A l'appui de cette hypothèse, que j'ai empruntée à M Hertz^ v
on peut rappeler l'expérience bien connue de M. Rowland, dans
laquelle la rotation rapide d'un disque chargé a produit les
mêmes effets électromagnétiques qu'un système de courants
circulaires. Elle a démontré que le déplacement d'un corps
chargé constitue un vrai courant électrique, ce qui d'ailleurs
est conforme à la théorie généralement acceptée de l'élec-
trolyse.
Or, on mesure toujours les composantes d'un courant par
les quantités d'électricité, rapportées à l'unité de surface et
à l'unité de temps, qui traversent des éléments de surface per-
74 H. A. LORENTZ.
pendiculaires aux axes des coordonnées. Si donc l'unité de
volume d'un corps chargé, animé de la vitesse (|, 17, C), con-
tient la quantité d'électricité ç, les composantes du courant
seront ç J, qij, ç C
D'un autre côté, on admet dans la théorie de Maxwell que
les variations du déplacement diélectrique constituent un cou-
rant aux composantes —, -~t — - . Les équations (52) expri-
ment donc que le vecteur dont dépend l'énergie cinétique
est composé des deux courants dont nous venons de parler.
Ce «courant total" a la propriété importante que la distri-
bution en est solénoïdale.
En efifet, dans le mouvement d'un corps rigide on a:
'^ + ^' + ^? = 0, (53)
dx dy dz dt\dx dy ZzJ
Oa; D 2/ Zz
et par conséquent:
Z n 0 t; Z w
0 a; Oy Zz
ou bien, en vertu de la formule (51),
ZU Zv dW dç dg dç dç
d X dy dz dt d X ' d y dz
Ici le second membre représente la variation par unité de
temps de la densité électrique dans un point qui se déplace
avec la particule; l'expression s'annule donc en vertu de
r hypothèse c.
e. Grâce à la propriété que je viens de démontrer, on peut
admettre que la relation entre le courant électrique (n, v, w)
et l'énergie cinétique est toujours celle que nous avons appris
à connaître dans le premier chapitre. Comme il s'agit des
phénomènes dans l'éther il n'y a pas lieu de distinguer la force
et l'induction magnétiques; je déterminerai donc la force
magnétique (a, |9, y) par les équations:
*^
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 75
dx d y \ fjt / I
r-4-T-^-i-:r^ = 0 (55)
0 X d y d z
et j'attribuerai à Ténergie cinétique la valeur:
On obtient ces formules en posant az=z a^ 6=1^, « = /
dans celles des paragraphes 9 et 10 ; on fera les mêmes substi-
tutions dans les équations (14) qui servent à définir les fonctions
auxiliaires F, G et H.
f. Enfin, je supposerai que la position de chaque point qui \'
prend part aux mouvements électromagnétiques est déterminée
dès qu'on connaît la position de toutes les particules chargées
du système et les valeurs de f, g Qt h dans tous les points
de l'espace. C'est une hypothèse analogue à celle que j'ai
discutée au chapitre précédent et présentant les mêmes dif-
ficultés.
Valeur de la variation ô' T,
§ 76. Cette fois encore, j'aurai recours à la formule générale
(3) pour trouver les équations du mouvement. Je commence
par la variation 5' T.
Désignons par x', y', z' les coordonnées d'un point quelconque
qui prend part aux mouvements électromagnétiques, et par
X, y, z celles d'un point quelconque d'une particule chargée.
Un déplacement virtuel du système peut évidemment être
défini au moyen des variations 5 x, ô y, 5 z d'une part et des
variations 5/, 5 jr, 8 h de l'autre, et les quantités 5 x', 5 y', h z'
seront des fonctioU)S linéaires et homogènes de toutes les va-
^
76 H. A. LORENTZ.
riations 5x, 5 y, fîz, 5/, Sjr, 5 ft,. Les coefficients de ces der-
nières quantités seront des constantes tant qu'il s'agit d'une
position initiale déterminée.
En remplaçant, dans les fonctions dont il vient d'être
question, 3x , 5 y, 5 z, 5/, h g, dh par x, y, J (ou |, ly, C),
/, g, h, on aura les valeurs de x', y', z' et, en y remplaçant
de nouveau J, ly, Ç, /, g, h par 5|, 3 ly, 5C, 5/, S^r, 5 A, on
trouvera les variations correspondantes des vitesses x', y', z',
la configuration étant toujours regardée comme constante. Il
en résulte que si, sans rien changer à la configuration, on
donne à 5, 17, Ç, /, g, h les accroissements 5 x, 5 y, 5 z, 5/,
5 ^r, 5 /i; les vitesses de tous les points du système subiront
précisément les variations dont il était question dans la dé-
finition de d' T.
• • • • •
Or, ces variations de 5, v^ Ci /> fft ^ donnent lieu aux va-
riations suivantes des composantes (52):
Q d\ -h Sfy Q à y -i- dg, q d z -\- 8 h^
et on aura par conséquent (§ 12):
3' T=j\ F{q 5x -h 5/) -h g {q dy -h Sg) -h H(q8z -h dh) jdr.(56)
Equations qui déterminent Vétat de Véther.
§ 77. Considérons d'abord un déplacement virtuel auquel
les particules chargées ne participent pas; l'équation (51) im-
pose alors aux variations 5 f , ô g, d h la condition
dôf ddg dôh ^
d X d y 0 z
En les supposant indépendantes du temps, ce qui est évi-
demment permis, on aura:
-dr=l\Jt^f'^-rt^^^ôj^V^''
LA THÉORIR ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 77
Par un raisonnement tel qu'il a été employé aux paragra-
phes 19 et 58, on démontre
dT=0.
Enfin, le travail S Ay ou la diminution de l'énergie poten-
tielle, est donné par la formule
dA=z — An V^jifSf+gdg-hhdh) dr.
Il faut donc que, pour toutes les valeurs admissibles de 8 /,
8 g^ d hy on ait :
— An V^fifSf'hgdg'j'hdh)dTZ=z
Il en résulte (§25) que, pour toute ligne fermée immobile
dans l'espace, dont un élément d s a les cosinus directeurs p, g, r,
— AnV^f {pf'^qg'hrh)d8z=: j- {{p F-^q G-^rH)d8,
et cette formule, appliquée à des cas particuliers, donne les
équations suivantes:
\oz oy J 0 t \d y 0 z /
ou bien, en vertu des formules (14);
^'^ ^ \dz OyJ-dt'j
4.r^(|A_£/V|^, (57)
\d y d X / <^t
Si le mouvement des particules chargées est donné et si
Ton connaît en outre les valeurs de f, g, h, «, /5, / pour le
temps < = 0, ces formules, jointes aux équations (50), (51),
(54) et (55), déterminent complètement l'état de l'éther.
.'
78 H. A. LORENTZ.
Action de Véther sur une particule chargée.
§ 78. Le système des forces avec lesquelles l'éther agit sur
une particule chargée M se réduit à une force résultante et
à un couple. Pour déterminer les composantes X, T et Z de
la force, je ferai d'abord remarquer que, dans un état de
mouvement donné, ces composantes ne sauraient dépendre
de la masse de la matière pondérable qui constitue les par-
ticules chargées. Si cette masse était tout à fait insensible,
( — X, — T, — Z) représenterait la force extérieure qu'il faut
appliquer à la particule pour produire le mouvement actuel.
On déterminera donc — X, — T, — Z au moyen de la for-
mule (3) en supposant que la valeur de T, donnée au para-
graphe 75, représente l'énergie cinétique totale.
Pour trouver — X, il faut considérer un déplacement virtuel
dans lequel la particule M seule éprouve une translation d x
dans la direction de OX, les autres particules chargées ne
changeant pas de place.
Pour que cette translation soit compatible avec la condition
(51), il faut qu'elle soit accompagnée d'uîie variation de /, g
et h. Cette variation peut être choisie d'une infinité de ma-
nières différentes, mais il est clair qu'après avoir obtenu les
équations (57) on peut se borner à une seule entre toutes
les suppositions admissibles. Je m'arrêterai à celle qui me
semble la plus simple.
Dans tout l'espace extérieur à la particule -M je poserai :
A d f=zd gz=d h:=0, mais à l'intérieur je prendrai :
5 / = — Q 5 X, dg=:Oy dhz=0.
Si on admet ces valeurs, les deux membres de l'équation
(51) subiront dans un point fixe de l'espace les mêmes vari-
ations et la condition sera encore remplie après le déplacement.
En effet, comme 5 x a pour tous les points de la particule la
même valeur, on trouve pour l'accroissement du premier membre
0 X
LA THÉORIE BLKCTROMAGNBTIQUB DE MAXWELL. 79
ce qui est précisément la variation de la densité q dans un
point {x, y, z) de Tespace, si elle y prend la valeur qui existait
d'abord au point {x — 5 x, y, z).
§ 79. Le premier membre de l'équation (3) pr^nd mainte-
nant la valeur
5^ = — X5x-h47r V^dx.JQfdr,
l'intégrale étant étendue à l'espace occupé par la particule M.
La formule (56) donne:
5'T = 0,
et on n'a donc plus qu'à calculer la variation S T.
Dans ce calcul, je supposerai que S x est indépendant du
temps.
§ 80. Pour que le système exécute le mouvement varié, il
suflBt, d'après l'hypothèse / du paragraphe 75, qu'à partir de
la configuration W/ (§ 19), on donne aux particules chargées
les positions et aux Composantes /, g, et h les valeurs qu'elles
ont dans la configuration W^y tout ceci ayant lieu pendant
un intervalle dt.
Voici, en quoi ce mouvement varié se distingue du mou-
vement réel:
a. Le mouvement des particules, à l'exception de la seule
M, n'a subi aucuir changement.
b. La vitesse d'un point quelconque de la particule M n'a
changé ni en grandeur ni en direction, mais la ligne décrite
par ce point dans le mouvement varié n'est pas la même que
celle qu'il suivait dans le mouvement réel. On obtient la pre-
mière ligne en donnant à la seconde une translation d x.
Les premiers termes q ^^ q y et q 1^ dans les expressions (52)
n'ont donc plus pour un même point de l'espace les mêmes
valeurs dans les deux mouvements. Leurs variations sont :
_?ie|l3,, -^pls., _ ^J?i^5 X . . . . (58).
d X d X d X
c. Comme les variations W^ ~> W/ et W^ — *► W/ n'affec-
80 . H. A. LORENTZ.
tent pas les valeurs de g et de h, les dérivées g ei h seront
dans le mouvement varié ce qu elles étaient dans le mouve-
ment réel.
d. Le cas est différent pour /. Si, en un point déterminé
de Tespace, la première composante du déplacement diélectrique
a la valeur / dans la position W, , la valeur sera/ -hfdt
dans la position W^ , / se rapportant au mouvement réel.
La valeur dans la configuration W/ sera (§ 78)
I-qSx (59)
et on obtiendra la valeur variée, pour le moment < H- d <, en
ajoutant à f -\- fdt ce que devient — q 5\ à ce moment dans
le point de l'espace considéré. Il est clair que q y est devenu :
^ \ dx 'dy dz )
et la variation 5 x ne change pas avec le temps. On peut
donc écrire pour la valeur de / dans la configuration Wj':
En divisant par d t la différence des expressions (59) et (60)
on trouve la valeur de / dans le mouvement varié. La vari-
ation de / devient
ce qui, joint aux expressions (58), donne:
i d X \ dx dy dz /)
— dx ^^
d X d X j
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 81
H est clair que c'est seulement dans l'espace occupé par
la particule M qu'il y aura des variations de w, vet^; l'in-
tégrale doit donc être étendue à cet espace.
L'équation peut être transformée au moyen d'une intégration
partielle. En ayant égard aux formules (14) et (53) et à la
circonstance que
à la surface de la particule, on arrive à la formule assez
simple :
3r=3xL(iy;. — Ç|î)dr.
On n'a plus qu'à substituer cette valeur et celles de d^
et y T (§ 79) dans l'équation (3). Voici les valeurs définitives
des composantes de la force cherchée:
Z=4 7r F» LAdr+ L(liî — ^«) dr.
(61).
Moment du œuple qui agit mr une particule chargée. ')
§ 81. Je considérerai les particules comme de petites sphères
dans lesquelles la densité électrique q est une fonction de la
distance r au centre et je choisirai ce dernier pour le point
d'application de la force (X, Y> Z)« Quelles sont alors les com-
posantes Ly Jf, N du couple qui provient des actions exercées
par l'éther? Pour les calculer, j'aurai recours à un artifice,
analogue à celui qui nous a servi au paragraphe 78. Dans le
* cas où la masse de la particule M peut être négligée, — L,
— J/, — N doivent être les composantes du couple qui dérive
des forces extérieures, et si on prend pour le déplacement
^) On peut comprendre toutes les applications de la théorie sans avoir
lu les paragraphes 81—89.
6
82 H. A. LORBNTZ.
virtuel une rotation infiniment petite œ autour d'un axe pas-
sant par le centre et parallèle à OX, le travail de ces forces
sera
— L (û.
Comme la densité q dans un point déterminé de Tespace
n'est pas changée par la rotation, on peut supposer que le
déplacement virtuel n'atteint pas les valeurs de /, g et A. On
aura donc
(î ^ rr — Z/ o),
et en considérant œ comme indépendant du temps on s'assure
facilement que
Reste à calculer 8' T. Si x, y et ?. sont les coordonnées
d'un point de la particule M, prises par rapport au centre, on
aura
() X := 0, S y ^ — (a z, 8 z r= -|- w y,
et, par la formule (56),
d' T=œJQ{Hy — G',)dT.
On finira par trouver pour les composantes du couple :
L=^|ç(G^-fiy)dr, ;
Mz=-^fQ{H^-F7.)drJ (62)
où les intégrales doivent de nouveau être étendues à l'espace
occupé par la particule considérée.
Vitesse de rotation d'une particule,
§ 82. Soient: m la masse d'une particule, l son rayon
d'inertie par rapport à un axe passant par le centre, ^:r, Oy, ^«
les vitesses de rotation autour de trois axes qui sont parallèles
i
>■■•.
1
LA THEORIE éLECTROMAGNéTIQUK DE MAXWELL. 8^
à 0 Xy 0 F et 0 Z. Supposons que les forces extérieures ne
donnent pas lieu à un couple. Alors on aura
d'où Ton tire:
ùx = ;^^ \ Q {Gz — Hy) d T. etc (63).
Il n'est pas nécessaire d'ajouter des constantes, si on admet,
comme cela est bien naturel, qu'antérieurement aux mouve-
ments que nous étudions, le système a été à l'état de repos
sans qu'il y eût des courants électriques. Alors, dans cet état
initial, les quantités F, 6?, H, 0-^, 0-^, lO-^. ont toutes été 0.
§ 83. Pour transformer les intégrales, je désigne par r la
distance du centre au point (x. y, z), par R le rayon de la parti-
cule, et je définis une fonction auxiliaire ^ au moyen de la
formule :
X = I Qvdr,
En introduisant cette fonction, qui dépend de r seulement,
on trouve:
'>' = :i^h{0'-H,)dr =
ou bien, en intégrant par parties et en se rappelant que, pour
\ f /dG ^ H\'j If^
mPj*'\dz dy J mP J ''
Si, dans toute l'étendue de la particule, la densité ^ a le
même signe, il en sera de même de la fonction % et on peut
écrire, en représentant par « une certaine valeur moyenne,
ou, après quelques transformations,
6*
84 H. A. LOBEMTZ.
4 «/•*.,
Si Q était la densité de la matière pondérable, la dernière
intégrale aurait la valeur
OTT
Maintenant que q représente la densité de la charge élec-
trique, on aura d'une manière analogue
f^ 3
si € est la charge totale et V une longueur qui est déterminée
par la distribution de la charge, tout comme l est déterminé
par celle de la matière pondérable. On arrive ainsi aux for-
mules
Si la particule ne possédait aucune masse, ces équations
exigeraient
« = /f = F = 0,
c'est-à-dire que la particule tournerait alors si vite et dans
une telle direction que la force magnétique moyenne à l'in-
térieur en deviendrait 0.
Cependant, je ne négligerai pas la masse; je lui attribuerai
même une telle valeur que les rotations n'aient pas d'influence
sensible.
0-;, = —
Injluence des rotations sur les valeurs des
forces I, T ^t Z.
§ 84. La vitesse (|, 17, C)? dont les composantes entrent dans
les derniers termes des formules (61) peut être décomposée
en deux parties, la première étant la vitesse (5o> ^o> ?o) ^^
centre, c'est-à-dire la vitesse de translation, et la seconde, que
LA THBORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 85
%
je représenterai par (J,, 17 ,, C,) étant due à la rotation. Pa-
reillement, on peut distinguer dans la force magnétique totale
H ou (a, p, y): V, la force magnétique Hq qui existerait si
la particule considérée était en repos, 2°. celle (H,) qui est
due à la translation dont elle est animée, et 3°. celle (H 2)
qui est causée par la rotation.
Ces divisions conduisent à regarder X, T et Z comme com-
posés de plusieurs parties, que nous allons considérer succes-
sivement.
§ 85. Si, d'abord, on se borne à la force magnétique Ho,et
si Ton suppose qu'elle a la même valeur et la même direc-
tion dans tous les points de la particule, ce qui est évidem-
ment permis quand cette dernière est suffisamment petite, on
est amené à des intégrales telles que
j Qvro^^^=ro j q{vo + Vi)^T^> ©te.
Elles peuvent être remplacées par
les intégrales j qtj^ dr, etc. s'évanouissant, parce que la dis-
tribution de la densité q est symétrique autour du centre.
Tant qu'il s'agit de H© seulement, on peut donc faire ab-
straction de la rotation; et si ^ est la partie de la force
(ï, T> Z) qui correspond à Hq, on aura évidemment (§6, ^):
îÇ(=)H.ev, (65)
V étant la vitesse de translation.
§ 86. A cette force ^ il faut ajouter:
1® une force ^^ qu'on obtient en combinant, de la manière
qui est indiquée dans les formules (61), la force magnétique
H, et la vitesse v ou (lo, ly^^, Çq);
2® une force ^" qui résulte de la combinaison de H j avec
(£11 Vi3 Cl);
86 H. A. LORBNTZ.
3^ la force |^<" qui dépend en même temps de H , et de
4? la force ^'^ qui est déterminée par H, et (|,, ly,, Ç,).
Cependant, nous n'aurons pas à nous occuper de ^', parce
que c'est l'eflfet d'une rotation que nous désirons connaître.
Pour simplifier encore davantage, je n'essayerai pas de
déterminer rigoureusement ^", ^°', ^^; cela exigerait des
calculs bien laborieux, parce que H , et H ^ dépendent, non
seulement du mouvement actuel de la particule, mais aussi
de sa translation et de sa rotation antérieures. Je prendrai
pour H , et H 2 les valeurs que ces forces magnétiques au-
raient si la particule était animée d'une translation ou d'une
rotation constante; il semble qu'on peut ainsi obtenir une
idée suffisante de l'ordre de grandeur des quantités cherchées.
Or, après avoir introduit cette simplification, on peut dé-
montrer que, pour des raisons de symétrie qu'il semble super-
flu de spécifier, ^^"^ == 0. Il nous reste donc à évaluer ^" et ^™.
§ 87. Considérons une particule qui est animée d'une
vitesse de translation v, le centre décrivant une ligne droite,
et construisons, à l'intérieur, un cercle de rayon r, dont l'axe
coïncide avec cette ligne. Ce cercle indiquera la direction de
H , et sera, en même temps, le lieu géométrique des points où ce
vecteur a une valeur déterminée. Or, en se rappelant la pro-
priété fondamentale de la force magnétique (§ 9, 2) et en
ayant égard à ce que le courant qui détermine H , est du même
ordre de grandeur que o v, ou que j —pï» ^ étant le rayon
de la p^rrticule, on trouve
OU
H.(=)-i^
LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 87
Lorsque, en second lieu, la particule tourne autour d'un dia-
mètre avec une vitesse angulaire 0*, elle peut être divisée en
un système d'anneaux à sections infiniment petites, qui ont
tous pour axe ce diamètre. Si Tun quelconque de ces anneaux
a le rayon r et la section d<y, il y existera un courant dont
rintensité i, prise dans le sens ordinaire du mot, est du même
ordre de grandeur que le produit q &rda. Un tel courant
annulaire produit, comme on sait, à son centre une force
2 TT i
magnétique (=) 2 tt ^ ^ d (y. La force magnétique qu'il fait
T
naître au centre de la sphère est du même ordre ; on trouve
donc, en intégrant sur la demi-surface d'un grand cercle,
3 ned'
H,(=)2.r^|^d(T(=)|
R
ou bien
H. (=) ^,
équation qu'on peut aussi appliquer aux autres points de la
particule, précisément parce qu'il ne s'agit que de l'ordre de
grandeur de H.^.
§ 88. Si on porte dans les formules (61) les valeurs de
H, et Hj, en ayant égard à ce que la vitesse (|,, ly,, C,)
est de l'ordre ^jR, on trouve:
^ (=) gf." (=) '-^,
OÙ l'on peut substituer la valeur de 0^ qui est donnée par les
équations (64). Or, dans ces dernières, V et l sont des lon-
gueurs du même ordre, et la force magnétique («, ^^ 7) sera
plus petite que la force magnétique H o , parce que la rotation
de la particule tend à diminuer la force magnétique à l'inté-
rieur (§ 83). On exagérera donc les forces ^« et ^"' si on
écrit
' m
et
88 H. A. LORBNTZ.
3 V
La comparaison de ce résultat avec la valeur (66) donDe:
^ (=) V (=)
e
2
Il en résulte qu'on pourra négliger ^" et ^^i^ en d'autres
termes, qu'on pourra faire abstraction de la rotation, si
<5»
wi R
est une fraction très petite.
§ 89. Soit a la densité de la matière pondérable qui con-
stitue une particule; alors on aura:
e^ e^ m . t^
Si la particule chargée était un atome d'une des parties compo-
santes d'un électrolyte, — ne serait autre chose que l'équiva-
lent électrochimique de cette composante, exprimé en unités
électromagnétiques. En choisissant comme unités fondamen-
tales le centimètre, le gramme et la seconde, on a pour
l'hydrogène :
^=10-*
e
et pour tous les autres corps une valeur plus grande.
Supposons que a ne surpasse pas le nombre 100 ;
^2 ^2
pour que — ^ ou —^aB^ soit une petite fraction, il suffira
alors que jB soit beaucoup plus petit que — — = 0,00001
centimètre. C'est ce que tout le monde admettra.
Quant aux particules chargées qui se trouvent dans les
métaux et dans les corps non- conducteurs, je me bornerai à
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 89
remarquer que, pour des valeurs déterminées de — et de a,
on pourra rendre Texpression
aussi petite que l'on voudra, par une supposition convenable
sur la longueur de R.
RécapUulation des formules les plus importantes.
§ 90. Je suis bien éloigné de vouloir attacher trop d'im-
portance aux considérations précédentes. Elles n'avaient
d'autre but que de rendre plus acceptable l'hypothèse que
voici, dont je me servirai dans tout ce qui suit :
Les particules chargées dont le déplacement donne lieu aux
phénomènes électriques ne peuvent pas tourner autour de
leur centre et, pour en déterminer le mouvement de trans-
lation, il suffit d'employer les équations (61), qui peuvent être
mises sous la forme suivante:
J=:47rF^|ç(7dr+ç|^adr- j|^/dr, ■ . . (I)
Z = 4 TT F» Jç /i dr -h J J ^ jî d T — 17 J ç a d T.
A ces formules il faut joindre les équations qui déterminent
l'état de Téther et qu'il sera utile de récapituler ici:
3/ ^g ^h
0« Djî D^^ (IH)
d X dy d Z ^ '
90 H. A. LORENTZ.
dy
d a d y
d Z d X
d X
= 4^(e^ + ;^^), j (IV)
\dz dy) dt ' I
\dy d xj dt
§ 91. Dans le chemin qui nous a conduit à ces équations
nous avons rencontré plus d'une difficulté sérieuse, et on sera
probablement peu satisfait d'une théorie qui, loin de dévoiler
le mécanisme des phénomènes, nous laisse tout au plus
l'espoir de le découvrir un jour. Les physiciens qui éprou-
vent ce sentiment peuvent toutefois admettre l'idée fonda-
mentale qui a été la base des recherches de Faraday
et de Maxwell, et ils peuvent considérer les formules
(I) — (V) comme des équations hypothétiques assez simples
qui pourraient servir à la description des phénomènes. J'ose
même dire que si l'on n'avait en vue autre chose que
cette description, sans vouloir tenter une explication mécanique,
il se pourrait que le choix tombât précisément sur ces équa-
tions que nous avons appris à connaître. Dès qu'on a renoncé
à l'idée d'une action des corps où le milieu interposé n'inter-
vient pas, il faudra décrire ce qui se passe dans un système
de particules chargées à l'aide de deux systèmes d'équations,
relatives, les unes à l'état de l'éther et les autres à la réaction
de ce milieu sur les particules.
Tant que, dans le champ que l'on considère, il ne se trouve
aucun corps chargé, les formules données par M. Hertz dans
son premier mémoire sont bien les plus simples qu'on puisse
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 91
admettre pour exprimer Tétat de Téther, et si Ton veut éta-
blir un système d'équations pouvant servir à Tétude d'un
système de particules chargées, il est naturel de se borner à
des modifications dont on reconnaît immédiatement la néces-
sité. Or, on obtient les formules (II) — (V) en remplaçant
dans celles de M. Hertz l'équation
3/ ^9 ^f^ A
d X cy 0 z
par
0/ dj djk_
dx '^ dy '^ dz ~^
et en substituant (§ 75, d) dans les équations:
~ — — X— =r 4 TT ifc, etc.
d y d z
Dans le chapitre suivant on verra que les équations (I) s'ob-
tiennent également par des considérations bien simples.
Si, du reste, ces équations sont établies à titre d'hypothèses,
on y peut ajouter la supposition que les particules chargées
ne sont jamais sujettes à un mouvement rotatoire.
§ 92. Le physicien qui voudrait admettre les équations
(I) — (V) sans les déduire des principes de la mécanique,
serait obligé de justifier son choix en démontrant que ces
équations sont compatibles avec la loi de la conservation de
l'énergie. Voici comment on le vérifie.
Soient: m la masse d'une particule chargée, X', T', Z' les
composantes de la force extérieure à laquelle elle est soumise.
Alors
X'^X' = mi Y + T=mi3, Z-hZ' = ml ..(66).
Il faut que le travail des forces extérieures par unité de
temps, c'est à dire l'expression
+
92 H. A. LOKBNTZ.
soit égal à -jj, U étant une fonction qui est déterminée par
rétat du système. Or, en employant les formules (I) et (66),
on trouve d'abord
^IggdT -h 1^ iQhdr j =
Dans la dernière intégrale, qui doit être étendue à l'espace
infini, on peut substituer les valeurs de ^ J, ^ 17, q^ qu'on tire
des équations (IV); ensuite, on peut intégrer par parties et
employer les équations (V). En fin de compte:
si on pose:
C'est la valeur de Ténergie du système. Le premier terme
n'est autre chose que l'énergie cinétique que les particules
possèdent en vertu de leurs masses. Les deux autres termes
ont la forme que nous connaissons déjà. Seulement, du point
de vue où nous nous sommes placés maintenant, il n'est pas
nécessaire de regarder comme potentielle l'énergie
et comme cinétique l'énergie
LA THÉORIE éLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 93
CHAPITRE V.
Applications de la théorie précédente.
Electrostatique.
§ 93. Supposons que toutes les particules chargées se trou-
vent en repos et que dans Téther il n'y ait aucun courant
de déplacement. Alors les formules (III) et (IV) donnent
et les formules (V) deviennent:
dz d y d X d Z dy d X
H faut donc que f, g et h soient les dérivées partielles d'une
même fonction. En désignant celle-ci par
n_
on aura en vertu de la relation (II)
Après avoir déterminé £2 à Taide de cette formule, on trouve
ï=-''/«'^*" î=-''/'w'''' z=-''A^^'-
Ce sont les équations dont se servirait l'ancienne électro-
statique pour calculer la force qui agit sur une particule
chargée; seulement, dans cette théorie, les formules reposeraient
sur l'hypothèse que deux quantités dq et dq' d'électricité,
situées à ime distance r l'une de l'autre, se repoussent avec
une force:
y^dq_d£
r^
Évidemment, le facteur F doit être le rapport entre les
unités électromagnétique et électrostatique de l'électricité . On
sait, en effet, que ce rapport est exprimé par le même nombre
que la vitesse de la lumière dans l'éther.
94 H. A. LORBNTZ.
§ 94. D'après ce qui précède, notre théorie exige que deux par-
ticules immobiles aux chargescete', dont les dimensions sont beau-
coup plus petites que la distance r, se repoussent avec une force
«6'
V^
r'
un signe négatif de cette expression indiquant une attraction.
Si donc on admet que les corps pondérables contiennent
une multitude de petites particules chargées, que dans les
conducteurs ces particules peuvent se mouvoir librement et
qu'une charge électrique est constituée par un excès de par-
ticules positives ou négatives, on peut donner à la théorie
de l'équilibre électrique une telle forme qu'elle ne se dis-
tingue guère de la théorie ancienne. Seulement, on ne par-
lera pas de particules d'électricité, mais de particules chargées,
et on se souviendra toujours que les forces mutuelles sont
causées par une modification dans l'état de l'éther.
Dans cette électrostatique ramenée à la forme ancienne, on
définira le potentiel par la formule:
r
et on aura pour les composantes de la force qui agit sur une
des particules:
_Fe^, -Fe^, -Ve^^.
Remarquons que ce potentiel est intimement lié à la fonction £î
que j'ai introduite dans le paragraphe précédent. Cette fonction
peut évidemment être décomposée en un grand nombre de
parties dont chacune est due à une seule des particules char-
gées. Si, dans le calcul de i2, on exclut la partie qui dépend
de la particule pour laquelle on veut calculer la force, la
fonction devient identique à (jp.
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 95
Force électrodynamique agissant sur un élément
(Pun circuit linéaire,
§ 95. Dans l'étude des courants électriques qu'on peut ob-
server par les moyens ordinaires, il ne faut pas perdre de
vue que la plus petite partie d'un conducteur sur laquelle on
puisse opérer contient toujours une multitude énorme de
particules chargées; on peut même concevoir une partie de
l'espace qui satisfait à cette dernière condition et qui peut
néanmoins être regardée comme infiniment petite dans une
théorie ayant pour objet, non pas le mouvement des parti-
cules individuelles, mais les effets d'ensemble qui sont acces-
sibles à nos sens. Un tel élément de volume sera représenté
par Dr, pour le distinguer d'un élément dr qui est infini-
ment petit dans le sens mathématique et peut par conséquent
trouver place même à l'intérieur d'une seule particule.
Or, il est clair qu'en suivant une ligne droite de petite
longueur, tirée dans un conducteur, on rencontrera en succes-
sion rapide des valeurs très différentes des fonctions /, g, h,
Uy v, w, a, I?, /, la droite se trouvant tantôt dans le voisinage
immédiat ou rdême à l'intérieur d'une particule chargée et
tantôt à une distance plus grande. Cependant, ces variations ra-
pides n'ont aucune influence sur les phénomènes considérés ;
ce qu'on peut observer dépend uniquement des valeurs moy-
ennes, qu'on peut définir de la manière suivante :
Si l'on conçoit un élément sphérique D r ayant pour centre
un point quelconque P, et qu'on prenne la valeur moyenne
xp qu'une fonction ip présente à l'intérieur de D v, cette valeur
yi sera nommée la valeur moyenne au point P.
Evidemment, on aura
tp=-p^|vidr,
l'intégration s'étendant à la sphère Dr. Le résultat sera une
96 H. A. LORBNTZ.
fonction de t et des coordonnées x, y^ z du point P, et on
démontre facilement les relations suivantes:
d Xff Dl// d Ip d \ff d \p ^^d %p d %p d tp
'Ô7~'ÔT' d~x~d^' dy d~y' dz ÔT
n en résulte que les équations
d X d y d z
dy d Z ' dz dx '
d S D « .
r-^ — T— = 47riy
Oa? cy
auront toujours lieu, si Ton entend par a, |î, /, tt, v et to les
valeurs moyennes.
Il est clair du reste que
si la fonction '^ ne présente pas de variations rapides à l'in-
térieur de l'élément Dr.
§ 96. La valeur moyenne de u (§ 75, d) est:
Si le mouvement des particules chargées est stationnaire,
j/dr ne change pas avec le temps et le dernier terme s'an-
nule. D'un autre côté, l'intégrale
Q^dr
peut être remplacée par
-2:61,
€ étant la charge d'une particule, et la somme étant étendue
à toutes les particules de l'élément Dr.
On trouve donc:
u
I
- -Sel - -Tciy - -SeC .^o.
> _ > >
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 97
Ces expressions peuvent être interprétées de différentes ma-
nières. D'abord, on peut écrire: 2;6| = ^, |, -h J£^, J2» ®tc.,
en représentant par E, la somme de toutes les charges posi-
tives, par E,^ celle des charges négatives et par |, et I2 ^^s
vitesses moyennes des particules positives et négatives. En
second lieu, on peut considérer un élément de surface per-
pendiculaire à 0 X, et comparable quant aux dimensions à
Dt, La composante u sera égale à la somme des charges
que possèdent les particules qui traversent cet élément, cette
somme étant rapportée à Tunité de surface et à l'unité de temps.
En prenant pour w, v, w les valeurs (68) on déterminera
par les formules (67) la force magnétique produite par un
courant stationnaire.
§ 97. Concevons un champ magnétique quelconque et dans
ce champ un circuit linéaire fermé s. Tant que les particules
chargées contenues dans ce conducteur se trouvent en repos,
les composantes a, /î, / auront partout les valeurs qui corres-
pondent au champ magnétique donné ; d'ailleurs, si ces valeurs
sont constantes, on peut supposer / = grz=: A = 0.
Si maintenant on établit dans le circuit un courant élec-
trique î, rétat de Téther et les valeurs de a, |5, / en seront
changés, mais on peut faire abstraction de ce changement
dans le calcul suivant, qui doit faire connaître la force agis-
sant sur un élément de la longueur D s ' )> ^^ *^^* qu'elle dépend
de l'état de l'éther qui existait déjà.
Remarquons que la force électrodynamique cherchée E est la
résultante des forces que toutes les particules chargées de
rélément éprouvent de la part de Téther. Le champ magné-
tique pouvant être considéré comme homogène dans l'étendue
de 1)9, les équations (I) (§ 90) donnent:
Zyzna ZX,e — y ^le,
E;? = /î 2" I ^ — « 2 7/ e.
*) La lettre D indique ici la même chose que lorsqu'il s'agissait d'un
élément de volume Dr.
98 H. A. LORENTZ.
Les sommes doivent être étendues à toutes les particules
qui se trouvent à Tintérieur de l'élément. Je représente par
CD la section du conducteur, par C =r ~ le courant, par l, m
et n les cosinus directeurs de D s.
Alors, des équations (68) on déduit:
i:e^z=zu(oDs'=:lO(oD8'=liD8^
2! et] z=mi D Sy 2:el^=zniDs;
donc :
Ea- = i (m / — n p) D sA
Ey = i{na— l r)DsA (69)
Ez =i{lfi — ma) D s.]
Ce sont des formules bien connues, qui s'accordent avec
les expériences.
Remarques sur les formules (I).
§ 98. Si, au point de vue où nous nous sommes placés au
paragraphe 91, on veut faire une hypothèse convenable sur la
force qu'une particule chargée e éprouve de la part, de l'éther,
il est tout d'abord probable que cette force se composera de
deux parties, dont l'une sera en jeu dans les cas de l'élec-
trostatique, tandis que l'autre provient du mouvement de la
particule. Les deux parties doivent dépendre de l'état de l'éther
au point où se trouve la particule; la première partie sera
donc déterminée par le déplacement diélectrique. Or, lors-
que toutes les particules chargées se trouvent en repos, les
composantes de ce déplacement, en tant qu'il est produit
par toutes les pai-ticules, à l'exception de e, sont (§ § 93 et 94)
._ 1 ^<P n — ^-— ^ h — ^ ^
et l'expérience démontre que la force a pour composantes:
> > . >
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 99
_Fc-^, -Veir^, -Ve^,^,
ce qu'on peut mettre sous la forme
4 7rF^e/, AnV^eg, Ait VU h.
Il est donc naturel d'admettre que dans tous les cas la
première partie de la force peut être représentée par
47r V^ jçfdT, 47r V^ (ggâr, 47r F' L^dr.
Quant aux composantes de la seconde partie, elles doivent
donner lieu à la force déterminée par les formules (69); la
plus simple supposition qu'on puisse faire à leur égard est
exprimée dans les derniers termes des équations (I).
Les deux parties de la force pourraient être distinguées par
les noms de force électrostatique et de force électrodynamique.
Il importe cependant de faire ressortir que la première partie
dépend, elle aussi, du mouvement des particules dont on
considère l'action.
Induction dans un circuit fermé.
§ 99. Nous allons appliquer les formules fondamentales à
Pinduction qui est produite dans un circuit, soit par un mou-
vement dont il est animé lui-même, soit par un changement
du champ magnétique où il se trouve. L'état de l'éther,
variable dfiCns ce dernier cas, sera regardé comme donné,
et nous ne nous occuperons pas de la modification qu'y ap-
porte le courant induit.
Calculons la force p e qui agit, dans la direction du circuit
8, sur une particule e. En nommanti,, ^,,C| les composantes
de la vitesse du point du circuit où se trouve la particule,
V la vitesse relative de cette dernière par rapport au conduc-
teur, Z, m, n les cosinus directeurs de ds, on aura:
1 = 1, +vZ, iy = î7,-hvm, C = C, -Hvn
7*
100 tt. A. LORRNTZ.
et, d'après les formules (I):
pez=lLl-hYm-hZnz=4:n V'^ e (f l -{- g m -{- hn) -^
l, m, n
«, ?y y
En divisant par c, on obtient la force /) rapportée à Tiinité
de charge ; ce qu'on appelle la force électromotrice induite
dans le circuit est ensuite donné par
§ 100. Soit (T une surface fixe sur laquelle le circuit est
situé dans les positions qu'il occupe aux moments ^ et < -f- d <,
et considérons l'intégrale
étendue à la partie de cette surface qu'il embrasse. Pendant
le temps di^ cette intégrale subit un accroissement à\ H» dry,
qui peut être décomposé en deux parties. La première par-
tie, d, iHwdcT, n'est autre chose queidHndrr; c'est l'accrois-
sement que l'intégrale éprouverait si le circuit ne se déplaçait
pas. La seconde partie, d^ iHMdiT, provient du changement de
l'étendue de la surface. En désignant par d <t' les éléments
nouveaux qui sont admis à l'intérieur du circuit et par dir"
les éléments qui en sont exclus, on aura:
I Hw d <T = -2" H« d (t' — Z }\nà rr".
Ceci posé, on peut déduire des équations (V):
d, I H» d<T
4 TT F^ /"(Z i -h jr m 4- /in) d s = ^—j-,
D'un autre côté, la valeur absolue du produit
dj
LA THÉORIK ÉLKCTROMAGNÉTIQUK DE MAXWELL 101
\ Ij m, n \
S^^nC, dsdt
«' ?, y
représente le volume du parallélépipède ayant pour base Té-
lément d cr' ou d cr" qui est décrit par d s et pour arête le
vecteur H ; elle sera donc égale à la valeur absolue de H» d cr'
ou H» d (t". En ayant égard aux signes algébriques, on trouvera :
équation bien connue de la théorie de Tinduction.
Pouvoir inducteur spécifique,
§ 101. L'influence des diélectriques pondérables dans les
phénomènes de Télectrostatique s'explique par la supposition
que les molécules de ces corps contiennent des particules
chargées qui peuvent être déplacées par des forces extérieures.
Pour simplifier, j'admettrai les hypothèses suivantes, qu'on
pourrait cependant remplacer par d'autres plus générales:
a Si toutes les particules chargées d'une molécule se trouvent
dans leurs positions naturelles, elle n'exerce aucune influence sur
d'autres molécules, même sur celles qui sont les plus voisines.
6. Il n'y a dans chaque molécule qu'une seule particule
chargée qui puisse être déplacée de sa position d'équilibre P.
Si cette particule a la charge 6, il faut, d'après l'hypothèse a,
que l'ensemble des autres particules exerce la même action
électrostatique qu'une charge — e au point P. Si donc la parti-
cule mobile a pris la position P', la molécule entière équivaut
à un système formé de deux particules aux charges h- 6 et
— e, l'une se trouvant au point P' et l'autre au point P. Un
tel système sera nommé un couple électrique; le produit
m = 6 X PP'
102 H. A. LORBNTZ.
est ce qu'on nomme le moment de ce couple. Cette quantité
est regardée comme un vecteur dont la direction est celle de
la ligne P P\
Les composantes du moment sont
X, y, z étant les projections du déplacement P P\
c. Ces dernières lignes seront considérées comme très petites,
même par rapport à la distance des molécules les plus voisines.
d. Dès que le corpuscule mobile a été déplacé, les autres
parties de la molécule exercent une force qui tend à le ra-
mener vers la position d'équilibre. Je prendrai pour les com-
posantes de cette force:
— f X, — f y, — f z,
f étant une constante qui dépend de la structure de la mo-
lécule. Du reste, ce coefficient et la charge e seront regardés
comme ayant les mêmes valeurs dans toutes les molécules
d'un même isolateur homogène.
Si (3£, ^, 3) ®st la force que toutes les particules chargées
qui se trouvent au dehors de la molécule considérée exercent
sur une particule â unité de charge placée au point P, la
particule mobile sera en équilibre si
edl
y-
z :
~ f '
et
on
aura
fXlx
^2
= 1 3S, iHy
=
-}%
m;r
- f ^
(70)
§ 102. Voici le problème qu'il faut résoudre pour se rendre
compte de l'influence d'un diélectrique homogène et isotrope
dans les phénomènes électrostatiques.
Un système de conducteurs est placé dans un diélectrique
qui s'étend à l'infini, et chaque conducteur est maintenu à
un potentiel donné. Déterminer les charges.
Remarquons d'abord que le potentiel cp en un point quel-
conque d'un conducteur, c'est-à-dire la somme
LA THÉORIE ÉLECTUOMAONÉTIQUE DE MAXWELL, 103
r
peut être décomposé en deux parties (jp, et (f^, Tune étant
produite par les particules chargées qui se trouvent sur les
conducteurs eux-mêmes, et l'autre par la „ polarisation" des
molécules du diélectrique. Je commencerai par calculer la
valeur de cp^ dans un point Q extérieur au diélectrique, et,
pour m'exprimer avec plus de clarté, je désignerai par Z),s,
D ($, D T des éléments dont les dimensions sont très grandes
par rapport aux distances moléculaires
S'jient Xy y, z les coordonnées d'un point dans le diélec-
trique, x', y\ z' les coordonnées du point Q, r la distance de
ces deux points, N le nombre des molécules par unité
de volume, m^r, m^, m^ les valeurs moyennes (§ 95) de m^,
nfiy, mz au point [x, y, z), N m.r = M;r, N m,/ = M^, Nmz = tliz-
Le vecteur M est alors ce qu'on peut appeler le moment
électrique rapporté à l'unité de volume.
Un calcul très simple donne pour la partie de cjp.^ qui est
due à une seule molécule
V]mxi^(—]'hïny^r-( - )-+-m, s— ( — )(»
/ dx \T J ^yx'i'/ d z \ r y)
et pour celle qui provient d'un élément D r
f dx\ r / '^yV^V ^z \ r /y
La valeur cherchée sera donc
et, en intégrant par parties, on arrive à l'expression suivante :
J r j r\d X d y d z J
Dans ce calcul, on s'est borné au cas où la plus petite
valeur de r est encore très grande par rapport aux distances
104 H. A. LORENTZ.
moléculaires. Cela n^empêche pas que cette valeur ne puisse
être tiès petite par rapport aux dimensions des conducteurs;
la formule peut donc être appliquée à des points Q qui se
trouvent dans le voisinage immédiat de la surface.
La première intégrale doit être étendue aux surfaces qui
limitent le diélectrique, la normale n étant dirigée vers Tinté-
rieur de ce corps.
Du reste, la formule peut être interprétée ainsi:
En ce qui regarde les actions exercées sur des points exté-
rieurs, le diélectrique peut être remplacé par un système or-
dinaire de particules chargées, distribuées d'une part sur
Tespace r occupé par l'isolateur, d'autre part sur les surfaces a
qui le limitent, les densités de ces distributions étant:
__/3M. _^ OM, _^OMA ^^ _^^
\ d X d y d,Z / ^
§ 103. Soit q> le potentiel total qui serait produit en un
point quelconque par la distribution dont il vient d'être
question et par les particules chargées qui se trouvent sur les
conducteurs. Cette fonction coïncidera avec le potentiel réel
des conducteurs, et on verra bientôt qu'elle peut être em-
ployée dans la discussion de ce qui se passe à l'intérieur
du diélectrique.
Si les distributions de particules chargées déterminées par
les expressions (71) existaient réellement, une particule à
Tunité de charge éprouverait une force aux composantes:
_F^* -F^. -F^.
d X 0 y 0 z
Pour qu'il y ait équilibre, il faut qu'à l'intérieur d'un con —
ducteur
qp = const.,
d'où on déduit que les particules électrisées qui constituen"
la charge d'un conducteur formeront une couche très minc^
à la surface. Je désignerai par
SDa
LA THÉORIF: ELKCTROMAGNÉTIQUE de MAXWELL. 105
la charge totale de la partie de cette couche qui correspond
à rélément D cr. Comme, dans le calcul du potentiel cf;, il y a
à considérer deux couches très-minces juxtaposées, qui par
unité de surface présentent les charges S et — M», il résulte
d'un théorème bien connu que, en un point qui est séparé
du conducteur par la seconde couche mais en est néanmoins
très voisin,
^ = -47rF(S-M„) (72)
A cette condition on peut ajouter Téquation:
qui doit avoir lieu dans tout Tespace occupé par le diélec-
trique. Enfin, la fonction qp ne présentera aucune discontinuité.
On arrivera (§§ 107 et 108) à la solution du problème pro-
posé (§ 102) si on combine ces formules avec celles qui ex-
piiment M^r, My, M;? en fonction dor— , r— » —^ et que nous
^ ' -" 0 X d y d z ^
allons déduire (§§ 104—106) des équations (70).
§ 104. Pour calculer les forces 36, 3), 3 9^^ entrent dans
ces dernières formules, je décris dans le diélectrique une sphère
B qui a son centre dans la molécule considérée et dont le
rayon est très grand par rapport aux distances moléculaires,
tout en étant si petit que les fonctions M.r, M^,, M;?,
~z h -T— ^ H- -.; — peuvent être considérées comme constan-
d X dy d Z ^
tes à l'intérieur de la surface. En appliquant à la partie du
diélectrique qui est extérieure à la sphère le théorème du pa-
ragraphe 102, on voit que la force (36, 3), 3) ^^ compose de
plusieurs parties, qui sont produites respectivement par:
a. les charges des conducteurs;
b. les charges superficielles aux densités — fHfi dans le voi-
sinage immédiat des conducteurs;
c. la distribution à densité
106 H. A. LOR8NTZ.
_(i!!f + ?i + ?*) (74)
supposée exister dans le diéleciriqae extérieur à B\
d. une charge superficielle sur la sphère elle-même, possé-
dant la densité
e. les molécules qui se trouvent à l'intérieur de la sphère.
Si la troisième distribution existait aussi à l'intérieur de B,
cela né changerait rien à la force cherchée, car l'expression
(74) est regardée comme constante dans l'étendue de la sphère.
11 s'ensuit que les trois premières parties de la force, prises
ensemble, ont les composantes:
_V^. -Vp^, -Vp!.
ex d y d z
Un calcul bien simple donne pour les composantes de la
quatrième partie:
4 4 4
on aura donc, en désignant par (3E', ^', 3) ^^ dernière par-
tie de la force, et en substituant dans les formules (70):
. m, = ^(-F3^ + |:rPiyi,+g)')., ... .(75)
§ 105. Reste à considérer la force (36/ 3)/ 3')' J® représenterai
par Xj y et z les coordonnées du centre de la sphère, où se
trouve la molécule considérée M; par x\ y', z les coordonnées
(hi point qui, dans une autre molécule M' située à l'intérieur
de la sphère, est analogue au point P (§ 101, 6); par r la
distance des deux points, par m et m' les moments électriques
des doux molécules. Alors:
LA THÉORIB ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 107
X'= P 2:^^^ \ [3 {x' - x)^ - r'] m/ + 3 {x'^x)(y' — y)m,' H-
+ S{x''^x){z' — z)mz\ , . . (76),
la somme étant étendue à toutes les molécules M' que con-
tient la sphère.
Il y a un cas où cette somme s'annule. C'est celui d'un
système de molécules à arrangement cubique, comme le pré-
sentent les cristaux du système régulier. En effet, les moments
m/, ndy', m/ peuvent alors être considérés comme égaux aux
moments m^-, niy, m» de la molécule M elle-même ; de plus, on
aura, en supposant les axes des coordonnées parallèles aux
axes cristallographiques :
j, (y-_-iO^=X) = ^ (^' - ^) .(-' - -) = 0 . . (77)
•Hx' — xy-r^ _ .. 3 {y'-_y)\— r' _
A*0 A.O
=^.3iL=ii_-=r! . . ,78)
Les trois dernières expressions seront par conséquent égales
à la troisième partie de leur somme qui est 0.
Dans les diélectriques amorphes, les molécules sont dissémi-
nées d'ime manière moins régulière. Cependant, en se bornant
aux corps isotropes, on arriverait encore à la conclusion:
3Ê' = 3)' = 3' = 0 . (79)
s'il était permis de remplacer dans la somme (76) toutes les
valeurs de nts, ndy', m/ par de certaines valeurs moyennes et
d'admettre encore les égalités (77) et (78), qui expriment que
la distribution des molécules est symétrique par rapport aux
trois axes.
Même si on voulait mettre en doute la conclusion (79) on
pourrait remarquer que l'influence exercée par le diélectrique
dépend, non pas de l'état des molécules individuelles, mais
des valeurs moyennes m;r, ïiiy, m«. Or, après avoir calculé
108 H. A. LORRNTZ.
36', 3)', 3' P^^** ^^^^ molécule M, on peut faire la même chose
pour une autre molécule, en décrivant, bien entendu, autour de
cette dernière une sphère B égale à celle au centre de laquelle se
trouve M, A chaque molécule appartiendront donc des valeurs
spéciales de 36', 2)', 3' ^* ^^ P®^* considérer les valeurs moy-
ennes 3Ê', ^5' 3' ^^ ^^® fonctions dans un élément de volume
D r. Il est clair qu'on obtiendra m^r, nfly et niz si, dans les
formules (75), on remplace 3Ê', 2)', 3' P^^ 3£', ^', 3'» ®* P^^^
arriver aux simplifications qui découlent des équations (79)
il suflBt que
X' = f = ,3' = 0.
Ceci pourrait être vrai même dans le cas où la position
accidentelle des molécules M' les plus voisines du centre de
la sphère donne lieu à des valeurs positives ou négatives de
36', 3)', 3 • ^^ effet, la ligne qui joint une molécule à celle
qui en est le plus rapprochée aura toutes les directions pos-
sibles ; il se pourrait donc que la distribution irrégulière et le
défaut d'isotropie qui existent dans une seule des sphères B
ne se fissent plus sentir dans les valeurs moyennes 36', 2)', 3'
§ 106. On connaît les erreurs auxquelles on s'expose dans
les théories moléculaires en se servant des „ valeurs moyennes"
et de raisonnements aussi superficiels que les précédents. Aussi
me semble-t-il préférable de ne pas supposer nulles les valeurs
de 36', 3)', 3 . ^^^ considérations suivantes peuvent cependant
nous fournir quelques renseignements sur ces valeurs.
a. Chaque molécule M se trouve en général soumise à deux
forces électriques, l'une (36, 2), 3) étant due à tout ce qui
se trouve au dehors de la sphère B, l'autre (36', 2)', 3 ) ^^^
njolécules situées à l'intérieur de cette surface. Supposons que
?) ^^ 3 ^^ 0 ^^ ^^^ ^^ force 36 ait la même valeur quelle
que soit la molécule M pour laquelle elle est calculée. Alors le
moment électrique prendra dans chaque molécule une grandeur
et une direction déterminées, qu'on pourrait trouver si on con*
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 109
naissait parfaitement la distribution des molécules. Comme,
dans les corps amorphes, cette distribution est fort irrégulière,
les moments électriques présenteront des changements brus-
ques si on passe d'une molécule à une autre, et ils n'auront
pas en général la direction de la force 36.
Cependant, tout s'arrangera d'une telle façon que
m^ = y (3£ H- ae'). m^ = y3)', m. = y 3'. . . (80)
b. Les forces 36', 3)', 3 ^^^* ^^^ fonctions linéaires des
moments m/, m/, ntz excités dans les molécules voisines de
M, Il en résulte que, si on change la grandeur de la force 36,
tous les moments changeront dans la même proportion, en
conservant les directions qu'ils avaient.
c. Il existe entre les valeurs moyennes la relation suivante :
m;r = -F- (36 -h 36 ), m,/ = -y ^î)', mz = -r- 3 •
Mais il est clair que dans un corps isotrope
ndy = m? = 0
et par conséquent:
f = 3' = 0.
Quant à m^:, ce moment moyen doit être proportionnel à
la force 36, parce que cette proportionnalité existe pour les
moments de toutes les molécules individuelles. Il y a donc
également proportionnalité entre 36' et m.r ou fHa-y ce que j'ex-
primerai par
3é' = sPM^,
le coefficient 8 étant constant pour un diélectrique donné,
mais variable avec la densité.
d. Si 2) et 3 ïi® sont pas 0, mais que la force (3S, 5), 3)î
constante dans toute l'étendue du diélectrique, ait une direction
quelconque, on aura de la même manière
dc' = sV^^U,, sï)'=sPMy, 3' = sPM.;. . . (81)
110 Ô. A. LOREKt^.
on s'en assure en introduisant pour un moment des axes des
coordonnées dont Tun ait la direction de la force (36, ^, 3)-
6. Les relations (81) subsisteront encore si la force (36, ^, 3)
varie d'une molécule à l'autre, pourvu que cette variation soit
si lente qu'il faille passer sur un grand nombre de molécules
avant qu'elle devienne sensible-
/. Voici encore une remarque qui nous sera utile dans la
suite, et qui est vraie dans tous les cas où 36', ^', 3' ^®
s'annulent pas.
Supposons que, sans modifier la distribution des molécules,
on en puisse changer la nature et donner ainsi à la constante
f une valeur nouvelle. Alors, même si on augmente ou diminue
convenablement la force 36 qu'on trouve dans les formules (80),
il est impossible que les moments électriques des molécules
conservent tous les mêmes valeurs. Il est également impossible
qu'après le changement de f les composantes de tous les
moments soient proportionnelles à leurs valeurs primitives.il
en résulte que le coefficient s ne reste pas le même si f vient
à changer.
§ 107. En vertu des formules (75) et (81) on trouve:
M. = ^-^Ç-V^^ + i^ ^ 72 M. + s V^ fn\ etc ,
ou bien, si on pose:
M _ ^^^ M _ ^^^ M _ „il
Ensuite, les équations (72) et (73) deviennent
(1 4.4^çy)|| = _47rys (82)
et A(f) = 0 (88)
§ 108. Cette dernière formule, jointe aux valeurs de q> pour
les différents conducteurs que je regarderai comme données
et à la continuité de qp, suffit, comme on sait, à la détermi-
LA THéoRIR ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. lll
nation du potentiel dans tous les points de Pespace. Ensuite,
l'équation (82) fait connaître la densité, et la charge de chaque
conducteur est donnée par Tintégrale
/
SD(ï.
Si l'espace extérieur aux conducteurs était occupé non pas
par le diélectrique considéré, mais par Téther, le facteur
1 -h 4 TT g y dans Téquation (82) devrait être remplacé par
l'unité, la formule (83) restant encore applicable. On voit
donc que, dans un système de conducteurs maintenus à des
potentiels donnés, la substitution du diélectrique pondérable
à l'éther augmentera les charges dans le rapport de 1 à
1 -h 4 TT g V, et que ce qu'on appelle le pouvoir inducteur
spécifique K d'un isolateur n'est autre chose que cette ex-
pression 1 H- 4 TT g F.
Il s'ensuit que
En supposant
8 = 0
et en admettant que, dans un changement de densité du dié-
lectrique ou du nombre iV, les propriétés de chaque molécule
et le coefficient f qui en dépend ne sont pas modifiés, on
trouve que l'expression
K—1
K 4-2
doit être proportionnelle à N, c'est-à-dire à la densité.
112 H. A. LORENTZ.
CHAPITRE VI.
Propagation do la lumière dans un diélectrique
pondérable qui se trouve en repos.
Nature du problème,
§ 109. Il s'agira dans ce chapitre des mouvements oscilla-
toires que les particules chargées peuvent exécuter dans les
molécules d'un diélectrique. Accompagnées de changements
périodiques dans l'état de l'éther, ces vibrations constitueront
un faisceau lumineux, dont je me propose d'étudier la pro-
pagation.
Pour simplifier, je supposerai de nouveau (§ 101, b) que
chaque molécule ne contienne qu'une seule particule chargée
mobile. Pour en étudier le mouvement, il faudra tenir compte
des forces exercées par l'éther et données par les formules (I)
(§ 90); d'autre part, les équations (II)-^(V) serviront à déterminer
l'état de l'éther qui est compatible avec le mouvement «les
particules. Dans tous les points qui sont extérieurs aux par-
ticules ces équations se réduisent à la forme plus simple:
df d a d h ^
d X oy d z
^_« +^1+^7 = 0
d X d y d z '
^y ^^ —A ^f ^« ^y —A .^9
0 y d z et 0 z d X d t
' =47r
.(86)
\d Z dyj d t \dX d Z/ d t
\dy dxj dt'
§ 110. Supposons, pour un moment, qu'il n*y ait qu'une seule
particule chargée, qu'elle soit animée d'un mouvement donné
LA THÉORIB ÉLBCTROMÀGNÊTIQUE DE NTAXWELL. 113
et qu'on soit parvenu à un système de valeurs/,, ^,, A,,
«n 1^1» yi^ qui satisfait, à Tintérieur, aux équations (H) — (V)
et, à l'extérieur, aux équations (85).
Supposons, de plus, qu'on ait trouvé un système analogue
/î» 5^2' ^i'> ^2» i^îj y 2 pour le cas où une autre particule se
déplace il travers Téther, cette autre particule étant à son tour
rejs^ardée comme la seule qui existe.
Alors, il est clair que les valeurs :
/==/, -^ fi^9 —9x + 9i^ h— h, H- A,,
satisferont à toutes les conditions du problème, si les deux
particules existent simultanément.
Ce théorème peut être étendu à un nombre quelconque de
particules chargées. On cherchera, pour chaque particule, un
système de valeurs de /, g, A, a, /î, /, qui soit compatible avec
son mouvement — en raisonnant comme si les autres par-
ticules n'existaient pas — et on combinera toutes ces solu-
tions par simple addition.
Du reste, il ne faut pas croire qu'on trouverait ainsi l'état
réel de l'éther. En effet, aux valeurs de /, g, h, a, /î, /, on
peut toujours ajouter des valeurs quelconques qui satisfont
aux équations (85).
§ 111. On peut trouver deux états différents de l'éther qui
sont compatibles avec les vibrations d'une particule chargée.
Dans le premier, la particule est le centre d'un ébranlement
qui se propage en dehors; dans le second, des vibrations
<ie Téther se dirigeront de tous côtés vers la particule dont
^lles chercheront à maintenir les oscillations. Nous nous occu-
perons seulement des solutions de la première espèce, qui se
présentent immédiatement à l'esprit. En effet, supposons qu'une
source lumineuse commence à un certain moment à émettre
des vibrations. Ce mouvement se propagera dans l'éther et at-
teindra à un instant déterminé la première particule chargée du
diélectrique. Aussitôt, les forces déterminées par les formules (I)
(§90) entreront enjeu ; elles déplaceront la particule et, conjoin-
8
114 H. A. LORBNTZ.
tement avec les autres forces auxquelles elle est soumise, en dé*
termineront le mouvement. Mais, en vertu de son agitation, la
particule devient elle-même le centre d'un ébranlement qui
se propage dans toutes les directions et se superpose à l'état
de Téther déjà existant. Au moment où elle est atteinte par
les vibrations électriques de l'éther, chaque molécule suivra
l'exemple de la première, et en définitive des vibrations éma-
neront de toutes les particules chargées.
Il importe cependant de remarquer qu'on peut opérer avec
une solution particulière quelconque qui s'accorde avec le
mouvement des particules, pourvu seulement qu'on rétablisse
la généralité nécessaire en ajoutant à cette solution une autre,
qui satisfait partout aux équations (85).
Si, dans les pages suivantes, il est question du mouvement
que ^produit" une particule vibrante, cela servira simplement
à indiquer une solution particulière qui est compatible avec
les oscillations.
Vibrations dam VHlier produites par une seule molécule.
§ 112. Des équations (II) — (V) (§ 90) on peut éliminer cinq
quelconques des variables
/, 9y K «, ?y /•
On trouve ainsi:
^■*/-ô-y='"o-:+°-^'* «
En appliquant ces formules à une molécule qui contient
une particule mobile P, je me bornerai à un cas bien simple ;
c'est celui où les écarts de la position naturelle sont infini-
ment petits par rapport aux dimensions de la particule elle-
même. Hâtons-nous d'ajouter que les résultats resteront vrais
LA THÉORIE BriECTROMAGNÉTIQUR DE MAXWELL. 115
si l'amplitude des vibrations est beaucoup plus grande, pourvu
seulement qu'elle soit très petite en comparaison des dis-
tances moléculaires. Cette extension de la théorie ne se
trouvera pas dans le chapitre présent; elle sera reléguée à la
,Note additionnelle" qui terminera ce mémoire »). J'ai pris
ce parti dans l'espoir de faciliter ainsi la lecture et de faire
mieux ressortir les traits essentiels de la théorie que je désire
proposer,
§ 113. Soient: x, y, z les projections du déplacement de la
particule mobile et ^^ la densité électrique au point (x, y^z),
dans le cas où elle a sa position naturelle. Alors, on aura
dans les formules (86) et (87)
, = ,^_,?^9_y?^o_,3£p, (88)
^® d X d y d z ^ '
et, comme ces dernières quantités sont, par supposition, infini-
ment petites, ainsi que x, y, z,
H-
^ ^P~ \dx dx'' ^ dxdy dxdzj
+ Qo -Jî^ , etc (90)
Lorsqu'on a en vue les valeurs de /, g, A, a, /5, / qui
dépendent de la particule mobile seule, il faut admettre qu'en
ïlehors de l'espace qu'elle occupe,
P A/- 1^ = 0, etc., 1/2 A « - y^ = 0, etc.,
ou bien, si on veut appliquer les formules (90) et (91) à
l'espace tout entier, il faut poser ^j, = 0 dans tous les points
extérieurs.
*) Dans cette Note il sera toujours question d'un diélectrique qui se
<léplace, mais on peut, dans toutes les formules, supposer nulle la vitesse
de ce déplacement.
8*
116 H. A. LOBKNTZ.
§ 114. Les équations (90) et (91) peuvent être mises sous
la forme •):
F» A/_^= F» ?^ _ F' j '-^ + ?;^> -h
-^ ^ V dx ^ d X^ dX dy
+ ?l(i^) j + i!i£^) , etc. . (92)
et
On y satisfera en introduisant quatre fonctions auxiliaires
»> Xn X2> Xs» *^ moyen des conditions:
F»A«-|i^=:ç„ (94)
F»Az,-Ç^ = 9o«. . (95)
et en posant
/=F»^^-r^P^ + |^ + ,^| + ^.etc.(96)
•^ Da? (Oa?' dxdydxdz)dt^ ^ '
i ^'Xi ^'Xs j etc f97^
a = 4 TT F2
-y
La densité ^^ est indépendante du temps; il en sera donc
de même de la fonction w, et elle sera déterminée par la
relation :
Aa,= ^^ç, («8)
On s'assure facilement que les valeurs (96) et (97) satisfont
aux équations primitives (II) — (V). On trouve, par exemple,
dxdydz dx ^ ^* D<M
0 ( X.. . 0* Y. i d i ,,. 0^
^iPAv — 1-J^^__^ yî Av —
Xs (
^^ d X oy dz
1) En effet, Vo ^^^ indépendant du temps, etx, y et z sont indépendants
de 0?, y, z.
LA THEORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 117
§ 115. D'après les formules (96), les fonctions /, g et h con-
tiennent les termes
P^, y,3« y,3«
qui sont indépendants du mouvement de la particule. Or,
tant que cette dernière est maintenue dans sa position d'équi-
libre, la molécule entière dont elle fait partie n'exerce aucune
action sensible en des points qui sont situés à quelque dis-
tance, par exemple, dans une molécule voisine. Il s'ensuit
qu'en de tels points les parties immobiles de la molécule
produisent un déplacement diélectrique égal et opposé à celui
qui a pour composantes les expressions (99). Si donc on con-
vient d'entendre par /, gr, h, <x, |î, / les valeurs qui sont dues
à la molécule entière, on aura à quelque distance,
^ = _p |?lli + iil^ + i^ j + ^.etc. (100)
•^ i d x^ oxoy oxcz) 0 t^ ^ '
a = 4nV^\ ^^-^ — ^^, I , etc. . . . (101)
^ d z dt dy dty ^ ^
Quant aux fonctions jf, elles peuvent être déterminées à
l'aide des théorèmes qu'on trouvera dans les deux paragraphes
suivants.
Théorèmes mathématiqueB.
§ 116. Soient: x un espace limité par une surface quelconque
<y ; dx MU élément de volume situé au point variable (x, y\ z) ;
(^9 y* ^) ^^ point qui est situé dans l'espace x' et qui est
regardé comme fixe si on veut effectuer les intégrations dont
il s'agira tout à l'heure ; U {x\ y\ z^ x, y, z) une fonction qui
est finie et continue pour toutes les valeurs des coordonnées,
excepté pour
X =x, y' = y, z' = z.
Considérons l'intégrale:
118 H. ▲. LORBNTZ.
l=:f^V{x\y',:^,x,y,z)dT',
OÙ rindice r indique qu'il faut exclure du champ de Tintégra-
tion une sphère b, à rayon r, ayant pour centre le point (a?, y, 2),
le rayon étant toujours le même quelle que sôit la position
de ce dernier point.
L'intégrale sera une fonction de Xy y et z, et on a le théorème
que voici:
d X
--lj{x'-x)Udb+j^^dT' (102)
où la première intégrale est étendue à la surface de la sphère.
DémonsPratian. Soient:
A le point (a?, j/, 2),
B le point (x -f- 9, y, 2), 5 étant une longueur infiniment petite,
Ia et 1b les valeurs de l'intégrale relatives à ces deux points,
n s'agit de calculer:
d I _ Ib-1a
d x Ô '
Supposons qu'en déplaçant le point {x, y, z) de A vers B
on donne, en même temps, une translation égale à tous les
éléments d r'. L'ensemble des éléments déplacés, que je nom-
merai {d r'), constitue un espace qui est limité à l'intérieur
par la sphère 6 décrite autour du point B, c'est-à-dire parla
sphère jusqu'à laquelle il faut étendre l'intégrale Ib, et à l'ex-
térieur par une surface {a} qui n'est autre chose que la sur-
face a déplacée sur une distance d.
Il en résulte que, pour changer Ij en Ib, il faut d'abord
remplacer, dans la fonction C7, x et x par x -h S et a; -+- d ;
de la valeur ainsi obtenue il faut retrancher l'intégrale
j U{x\y\z\x,y,z)dr
étendue à la zone qui se trouve à Tintérieur de (cr) et à l'ex-
térieur de (T, et il y faut ajouter une intégrale analogue relative
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 119
à la zone qui est à la fois extérieure à (of) et intérieure à a.
Tout ceci se traduit par la formule
dans laquelle n désigne la normale à la sùrfiace, menée vers
l'extérieur.
La première intégration peut être effectuée. On trouve:
/ X— 7 d r' = I f/ cos {n,x)da !(«' — x) Ud 6,
d'où il suit:
^ = — -L'— a;) [/dô+f ^dr'. C.Q.F.D.
d X r JV JT d X
Remarquons que cette relation doit avoir lieu quelque petite
que soit la valeur de r. En désignant par / la limite vers
laquelle tend i , quand on diminue de plus en plus le rayon,
on aura:;
^ jUdT=—Um rij{x—x) Udbl^jy^dv' ...(104)
0 X
Du reste, cette formule est encore applicable si Tespace r
s'étend à l'infini, ou si, cet espace étant limité, le point (rr, t/, î;)
se trouve à l'extérieur. Le dernier de ces deux cas rentre
dans le premier lorsqu'on suppose que l'espace r' est infini
mais que la fonction U s'annule dans une certaine région.
Si le point (a, y, z) appartient à cette région, on aura:
d Xj J 0 X
§ 117. Théorème, Employons de nouveau les notations du
paragraphe précédent, et représentons par r la distance des
points {x^ y, z) et {x\ y\ z), par F une fonction finie et con-
tinue. Je dis que la fonction
120 H. A. LORENTZ.
satisfait à Téquation :
Démonstration. Le théorème précédent donne:
Pour déterminer la limite, on peut, dans le premier terme,
remplacer
F i^—yy ^\ y\ ^' ) par i^'C*, X, y, z).
On voit alors que ce terme s'évanouit et que
T^ = — r-^f-^— i — ^(<~^, x',y\z')\dx\
d'où il suit, par une nouvelle application de la formule (104),
- T^y-^lsii \~Fit-^,s',yU)\dr' .... (105)
Soit -F' {t, Xy y y z) la dérivée de F{t, a:, y, z) par rapport à
t. Alors;
- ^ F (' - y. ^'. y'. ^ )-j^ F' {t - f , ^', y', ^) >
ce que, dans le premier terme du second membre de (105),
on peut remplacer par:
X "^ X ri * . V X ~~" X
r
En définitive:
— F {t, X, y^ z) pj-^ F', {t, X, y, z).
^'o-V'=T^(''^'^'^^-è/y^lT^('-f'^''^>'> I ^-
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXAVELL. 121
Il y a des formules analogues pour
F^ ^ et F> ^ ,
et comme:
on trouve:
4:n
Or, un calcul direct nous apprend que
donc :
V'Ax-Ç^^ = Fit,x,y,z). C.Q.F.D.
§ 118. La proposition que je viens de démontrer peut être
regardée comme une extension du théorème de Poisson^ qui joue
un rôle si important dans la théorie du potentiel et auquel on
revient en supposant que la fonction F ne renferme pas le
temps L De même, la formule (106), que, sans en diminuer la
généralité, on peut remplacer par
est analogue à Féquation de Laphce . pour la fonction - .
• ■ m
Cîette formule (107) est connue depuis longtemps; après Ta voir
trouvée, il est tout naturel de rechercher ce que devient
AJl:F{x\y\z')dT'
si on y remplace
• ^F{x',y',z')
122 H. A. LORENTZ.
par
LF(t-^.x',y\z'y
Détermination de Xi» tti tz ^' de /, gr, fe, a, /î, y,
§ 119. Le théorème du paragraphe 117 conduit immédia-
tement à une solution des équations (95). Soient: A le point
(x, y y z) situé à l'extérieur de la molécule et pour lequel on veut
calculer les valeurs des fonctions relatives au temps <, B un
point de Tespace occupé par la particule mobile, dr' un élément
de volume au point JB, q^ la densité électrique en B lorsque la
particule a sa position naturelle, r la distance A B, (x, y, z)
le déplacement à Tinstant t — -^ . On aura :
^3 = -4in^/V^^>' •(!<>»)
où les intégrales doivent être étendues à toute la particule
vibrante.
A la rigueur, ni r, ni, par conséquent, x, y, z n'auront les
mêmes valeurs pour les différents éléments d t\ Vu, cependant,
Textrême petitesse, par rapport à la distance A B, que nous
attribuons à la particule, on pourra remplacer tous les r par la
distance de A au point où se trouve le centre de la particule
dans sa position naturelle. C'est cette distance qui sera dé-
signée par r dans les formules qui vont suivre.
En représentant par (m'^r, m'y. mV) le moment électrique
r
(§ 101) à l'instant t — -j^ , on trouve :
I - — dx =— \ Qodr = — = , etc.
J r r J r r
et finalement, au lieu des expressions (100) et (101),
LA THÉORIE éLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 123
0»
4 7r F2 3<ï
(5^) , etc. . (109)
„= J^^^CLA-^/ëV), etc. . . . aïo)
Ces expressions peuvent encore être appliquées lorsque,
contrairement à la supposition du paragraphe 112, Tampli-
tude des vibrations est plus grande que le diamètre de la
particule, tout en restant beaucoup plus petite que la distance
r. C'est ce qu'on verra démontré dans la Note additionnelle.
Intensité de la force qu^une particule vibrante éprouve en
vertu de Vétat de la molécule dont elle fait partie.
§ 120. Les valeurs (109) et (110), portées dans les formules
(I) (§ 90), peuvent servir à déterminer Ja force que Tune des
molécules exerce sur la particule mobile qui appartient à une
autre; nous en déduirons bientôt (§ 125) Taction qu'une par-
ticule déterminée P subit de la part de toutes les molécules
environnantes. Cependant, avant d'aborder ce calcul, nous
allons considérer la force à laquelle elle est soumise en vertu
de l'état de l'éther qu'elle excite elle-même.
A cet effet, il est nécessaire d'étudier les valeurs que les
fonctions /, g, h, a, jî, y, déterminées par les équations (92)
et (93), présentent à l'intérieur de la particule.
On peut toujours employer les formules (96). (97) et (108);
seulement, ces dernières se simplifient, parce que, dans le pro-
blème actuel, r est tout au plus égal au diamètre de la par-
ticule, et, par conséquent, extrêmement petit par rapport à la
r
longueur d''onde. La quantité ^ n'est donc qu'une fraction in-
signifiante du temps d'oscillation et il est permis, dans les
formules (108), de remplacer x, y, z par :
124 H. A. LORENTZ.
T T T
si Ton convient d'entendre par x, y, z, x, y, z les valeurs rela-
tives au temps L
Comme, d'après la formule (98),
(O
^ [ Qo j f
on trouve:
Substituons dans les formules (I), en ayant égard à la rela-
tion (88) et à ce que x, y, z sont regardés comme infiniment
petits. Il vient pour la première composante de la force
cherchée, si on remplace x par J,
-f 4 TT P I I Çq a> d r H y- j Çodr.
Ici, la première intégrale est 0, parce que la distribution
des fonctions Qq et œ est symétrique autour du centre; il en
est de même des trois intégrales suivantes, puisque ç^ s'annule
à la surface de la particule. On trouve, par conséquent, pour
les composantes de la force cherchée:
n P kf-
co rf r H ^-, etc (111)
Si le mouvement de la particule est une vibration simple,
les signes des dérivées |, iy, Ç sont opposés à ceux des vitesses
5, fj, Ç. La force aux composantes
•• •• ••
Je^ fj€^ l^e^
s'oppose donc au mouvement. Il est naturel qu'il y ait une
LA THÉORIE ÊLECTROMAGNéTIQUE DE MAXWELL. 125
telle ^résistance"; sans cela, en effet, la particule ne pourrait
céder de Ténergie à l'éther.
Aussi bien que les formules (109) et (110), les expressions
(111) restent applicables lorsque les excursions delà particule
sont plus grandes que le diamètre. (Voir la Note).
§ 121. Quant à la force avec laquelle les parties immobiles
de la molécule agissent sur la particule qui est déplacée de sa
position d'équilibre, je m'en tiendrai à l'hypothèse du para-
graphe 101. Les composantes en seront représentées de
nouveau par
-fx, -fy, -fz (112)
Détermination de la force totale qui agit sur une
particule vibrante,
§ 122. Le calcul de la force que la particule mobile contenue
dans une des molécules éprouve de la part de toutes les autres
molécules ressemble beaucoup à celui qui nous a servi à
l'évaluation du pouvoir inducteur spécifique.
Je désignerai de nouveau par
les valeurs moyennes de xtix, my, m^ (§ 102) et par
les composantes du moment électrique rapporté à l'unité de
volume. Ces composantes seront des fonctions du temps et
des coordonnées; elles ne présenteront plus les changements
brusques et irréguliers (§ 106, a) qu'on trouve dans les mo-
ments mxi niy, m^.
H importe de remarquer que, lorsqu'il s'agit de fonctions
"^ '^ "^
telles que Mar, My, M;r, on peut attacher aux signes r- > t- , ~-
cx Oy 0 z
une signification un peu différente de celle qu'ils avaient
3 M
iusqu'ici. Pour obtenir, par exemple, ^r—^ , on peut considérer
d X
126 H. A. lorbnt:;.
une ligne P QrzDx, parallèle à Taxe des x, et qui, loin d'être
infiniment petite dans le sens rigoureux du mot, est beaucoup
plus grande que les distances moléculaires. Il suffira que^ dans
l'étendue de cette ligne, le changement de M^r soit très petit
par rapport à ce moment lui-même; alors, on pourra prendre
D M
pour ^r— ^ le quotient qu'on obtient en divisant par Dx la
dififérence des valeurs de M^r aux points P et Ç. Evidemment,
dans les problèmes qui nous occupent, la condition à remplir
revient à ce que Dx doit être une très petite fraction de la
longueur d'onde.
Un signe spécial pour indiquer les différentiations prises
dans ce sens nouveau me semble superflu ; dans chaque cas
particulier on comprendra facilement ce qu'il faut entendre
D 0 D
§ 123. Je considère un diélectrique pondérable, homogène
et isotrope, qui est limité par une surface or, et je me propose
d'établir les équations différentielles auxquelles doivent satis-
faire Ma-, My, M;r à l'intérieur de ce corps. Des mouvements
électriques peuvent également avoir lieu à l'extérieur de la
surlace, mais il n'est pas nécessaire de supposer quelque chose
à leur égard.
Soit M une molécule située au point (a:, y, z). La particule
mobile qu'elle contient est d'abord soumise aux forces (111)
et (112) et, en second lieu, à une force qu'on calcule en
prenant, dans les formules (I) (§ 90), pour /, gr, A, «, /?, y les
valeurs qui existent indépendamment de la molécule M elle-
même. Toutes ces valeurs peuvent être regardées comme
constantes dans l'étendue de la particule et les formules (I)
prennent, par conséquent, la forme
X = 47rV^6/-h6(iy/ — Cl?), etc (118)
Je construis de nouveau la sphère B dont il a été question
dans la théorie du pouvoir inducteur spécifique (§ 104), et je
j
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 127
décompose les valeurs de /, g, A, «, /5, /, X, T, Z dans les
parties suivantes:
a. celles qui sont produites par les molécules du diélectrique,
extérieures à la sphère B;
b. celles qui sont dues aux molécules à l'intérieur de la
sphère — la molécule M elle-même étant toutefois exceptée;
c. celles qui sont indépendantes de toutes les molécules
nommées.
Je supposerai que dans retendue entière de la sphère les
moments fHx, My, Mr ont sensiblement des valeurs constantes.
Cela exige que le rayon R soit très petit par rapport à la
longueur d'onde.
Si, après avoir calculé les valeurs de /, gr, A, a, |î, /, etc.
pour une molécule 3f , on veut passer à une autre molécule,
on construira autour de celle-ci comme centre une nouvelle
sphère B, égale à la première.
§ 124. Soient : D r un élément de l'espace r compris entre
les deux surfaces B et (x,
x'y y\ z les coordonnées du centre de cet élément,
Wxy M Vf M'^ 1^^ valeurs des moments électriques dans ce point,
r la distance du point {x\ y\ z') au point (a?, i/, z).
En vertu de l'équation (109), la première composante du
déplacement diélectrique produit par toutes les molécules de
l'espace r' a, dans la molécule Jtf, la valeur:
An J \_()x^\ r / i) X d y\ r / d x d z\ r /
1 3
2
(*-')]-■•
où il faut entendre par M'a:, MV) f^'s les valeurs qui corres-
T
pondent au temps t — ^^ •
Mais, en appliquant le théorème du paragraphe 116, on trouve:
3
d X
/t^'--^/<*-'>"''"* + /o4(t)^'''
128 H. A. LORBNTZ.
OU bien
éry^'^lMT)"- ("*)
parce que, en intégrant sur la surface sphérique, on peut rem-
placer llll':r par la valeur M;r qui existe au centre au moment t.
Une nouvelle application du même théorème donne :
d
-/5^(^')^'=-4-'"-fô(T'>'-("')
On a, au contraire,
d X Zy] r J d X d y\ r J '
ti X d z J r Jdxdz\rJ '
Posons :
alors:
On trouve de la même manière :
u = ^2^-^l^ * (117)
d y dt d z d t
§ 125. Lorsqu'on veut calculer les forces (113), il faut mul-
tiplier par 4:7T V^ e l'expression (116) et par et] ou e C la va-
leur de a. Or, les fonctions 9)l:r, 9Jly, Wlz seront en général
du même ordre de grandeur. En outre, lorsqu'il s'agit d'un
faisceau lumineux, elles seront périodiques par rapport au
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 129
temps, la période étant égale à la durée & d*une vibration, et
elles présenteront une variation considérable et même un
changement de signe si on passe d'un point à un autre qui
en est éloigné de la demi-longueur d'onde. Si la longueur
d'onde est représentée par i, l'amplitude par d et une quel-
conque des fonctions SJl^-, 3Jly, 3K^ par 9)î, on aura
Il en résulte que les derniers termes des expressions (113)
divisés par les premiers termes, sont de l'ordre:
X •
Comme ô est beaucoup plus petit que la longueur d'onde
on peut se borner aux termes 4 tt F^ e /, etc. et écrire
pour les composantes de la force que la particule mobile
subit de la part de toutes les molécules qui se trouvent dans
l'espace t:
etc.
§ 126. Soient
fxif 9oi ^o> "o> ?ùf /o
les composantes du déplacement diélectrique et de la force
magnétique qui existent indépendamment des molécules in-
cluses dans la surface cr. Les équations (85) démontrent que
les rapports
^ ^ etc
J Q JO
sont de l'ordre F, ce qui doime lieu à la même simplification
que j'ai fait connaître au paragraphe précédent. Je prendrai
donc pour les composantes de la force qui est due à cet état
de l'éther:
47r F^6/o, 47r V^ego , AitV^eho (119)
9
130 H. A. LOKENTZ.
§ 127. Je représente par m'^r, m'y, W^ les valeurs, au mo-
ment tj des moments électriques d'une des molécules M' qui
se trouvent à l'intérieur de la sphère B, et par (m';r), (m», (m'»)
ces mêmes moments, ti l'instant t ^ ? ^ étant la distance
au centre (a;, j/, z) de la sphère.
Si, dans la formule (109), on remplace m';r, m'y, m'^ par
(m';r), (m'y), (m'r), on obtiendra la première composante du dépla-
cement diélectrique que cette molécule M' produit à l'intérieur
de M.
Mais :
(m';r; = ttï'u: — y -"Ti — h . . . , etc.
d' où l'on tire :
en omettant des termes de l'ordre
1 d^ m'a;
V^r dp •
On s'assure facilement que ces derniers termes donnent lieu
à une partie de la force
4:7tV^ef
qui peut être négligée par rapport au premier terme de l'expres-
sion (118) et qu'on peut également laisser de côté les forces
e(i]y-—t^)y etc.
produites par les molécules M\
Ces molécules intérieures à la sphère B exercent donc une
force dont la première composante a la valeur:
^^^^' [ •"'.ôï G) + ■"; oli^C;) + •"; ôÏdtO)] • <i20)
Cette somme a la même forme que l'expression
que nous avons rencontrée dans le calcul du pouvoir induc-
teur spécifique. Elle sera même égale à «36', si, dans les deux
cas, M^, My, fHz ont les mêmes valeurs. En effet, l'expression
LA THEORIE ELECTROM^G^^ETIQUE DR MAXWELL. 131
(120) nous fait voir que des molécules très rapprochées les
unes des autres agissent mutuellement, comme elles le feraient
s'il y avait équilibre électrique. Les variations irrégulières de
lîl^r, my, m^ sont donc les mêmes dans les deux problêmes.
Équations du mouvement d^une particule.
§ 128. La force totale qui agit sur une particule mobile se
trouve entièrement déterminée parles expressions (111), (112),
(118), (119) et (120). Elle doit être égale au produit de l'accé-
lération de la particule par sa masse m.
La première équation du mouvement est donc:
ml = — U 4-47rF2||ç^û>dr-+- -Ç-'l + ^n VeM.r-^
L dx'' dxdy dxdz F^ 0<2 J
H-47rF2 6/, + e3£' (121)
Pour la simplifier, je fais remarquer d'abord que les termes
j et -^ TT F^ e M^
F * 3
sont du même ordre de grandeur que les expressions
1^ et V^eNm.
Le rapport de ces dernières est
ce qui représente le nombre des molécules qui se trouvent dans
un cube ayant pour côté la longueur d'onde. Le terme
I
peut donc être négligé.
Je poseïai encore:
9'
132 H. A. LORBNTZ.
je prendrai les valeurs moyennes (§ 95) de tous les termes,
je diviserai par e F et j'introduirai la valeur de 36' (§106) et la
constante q (§ 107). Tout ceci nous fournit l'équation
q^'' '^ Ne'' V dp ~ l dx^ '^dxdy'^dxdz~'
1 o^aR^r
D«2
-J + 47r K/o . . . (122)
Propagation de la lumière.
§ 129. Voici, comment on peut déduire de cette formule
une équation différentielle contenant seulement M;r, My, Mz.
Appliquons à tous les termes l'opération indiquée par le signe
. 1 0^
Alors, le dernier terme disparaît parce que /q satisfait ià.
l'équation
/ 1 D^\
Pour les autres termes du second membre,
/ 1 z"" \ 3*3»;r / 1 0» ^ ?» 2Ry
on peut écrire:
Mais, d'après la formule (115) et les deux autres quilui soi=»
analogues ,
A 3»^= — 4 TT M;r H-|a (^) Dr',
Grâce à la signification de M'a? (§ 124) et en vertu de I
formule (107), la fonction
LA. THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 133
r
jouit de la propriété exprimée par
Donc
(123)
et iinaleiueul:
0» Mv 0' M;t 1 0* M.
+ r-^r^ +
y , «^ ro«
'] ■ ■ (124)
Il va sans dire qu'il y a deux équations de même forme
pour My et M^.
Une quatrième relation peut être ajoutée à ces formules.
En effet, si on prend la somme de Téquation (122) et de
celles qui lui sont analogues, après les avoir diflFérentiées
respectivement par rapport à j?, y et z, on trouve, en ayant
égard à la relation
0 X d y 0 z
et aux formules il23):
/l . „ . X 02 N /OM^r . OMy DMA ^
\q N e^V d t^ J \d X cy dz /
Si Ton veut que M:r, My, M;? soient des fonctions périodiques
ayant une période quelconque %>, cette formule donne
d X d y d z
Cela veut dire que les vibrations doivent être transversales.
§ 130. Supposons que les vibrations électriques dans les
134 H. A. LORENTZ.
molécules aient lieu dans la direction de 0 X et que les
moments électriques soient indépendants de x et de z. Alors,
Féquation (124) devient
/i X d^\fy' _ J_ i^^ M — i^^^^ (\9^\
Si on pose :
W sera la vitesse de propagation des vibrations transversales.
En substituant dans la relation (125), on trouve
4 ^2
TT* X
^ï — p
^ Ne^Vù'- '^
TT* X
et si on désigne par
l'indice de réfraction,
™4 7r2x
§ 131. Ce résultat donne lieu aux conclusions suivantes:
a. Si la masse m des particules vibrantes, ou la quantité
— 4 TT y^ I Ço 0) dr '), est si grande, que le terme
4 TT^ X
1) Il résulte de la valeur de w (§ 120) que — 4 n V^ i ^^ o) d i est
c»
positif et du même ordre de grandeur que -- , où R <»st le layon d'ime
particule. Ce terme 4 n l* i 4>o o» (/ r peut donc Mre négligé vis-
à-vis de /w, lors(iue la condition qui a été énoncée au paragraphe 88 se
trouve remplie.
LA THI^iORIK ÉLKCTROMAGNKTIQUK DK MAXWELL. 135
tout en restant inférieur à l'unité, ait une valeur sensible, Tin-
dice de réfraction sera d^auiant plus élevé que la durée des
vibrations est plus petite. On sait que, dans la théorie moderne
de la dispersion de la lumière, la masse des particules pondéra-
bles qui sont supposées prendre part aux vibrations lumineu-
ses joue un rôle important. J'ai fait remarquer *), il y a déjà
bien des années, que la théorie électromagnétique permet
une semblable explication.
6. Si la durée d'une oscillation est suffisamment longue,
on aura à peu près:
i;î =1 -f. 4 7r Fgr.
Or, le second membre n'est autre chose que le pouvoir
inducteur spécifique K (§ 108) et on revient à la relation, établie
par Maxwell,
v^ —K.
c. En supposant que le facteur s qui entre dans q (§ 107)
peut être négligé, on trouve que, quelles que soient les valeurs
de ^ et de x, l'expression
y^— 1
doit être proportionnelle à la densité du diélectrique. C'est la
loi que j'ai fait connaître dans le mémoire cité et qui a été
établie aussi par M. Lorenz ^) de Copenhague. Elle ne s'ac-
corde pas parfaitement avec les expériences, mais il n'y a en
cela rien qui doive nous étonner. Non seulement la quantité
s peut être différente de 0, mais il est très probable que les
propriétés des molécules elles-mêmes sont modifiées par une
dilatation ou une compression. Ce sont précisément ces chan-
gements sur lesquels on pourra apprendre quelque chose en
étudiant les variations de l'expression
v[ — l
^i + 2*
^) H. A. Lorentz, Verhandelingen dcr Akad.v. Wct.Amd,, T. 48, 1878,
et Wied. Ami., T. 9, p. 641, 1880.
*) L. Lorenz, Wicd. Ann, T. 11, p. 70, 1880. Le mémoire original de
M. Lorenz parut en danois en 1869.
136 H. A. LORKNTZ.
CHAPITRE VIL
Propagation de la lumière dans un diélectrique
pondérable qui se trouve en mouvement.
Equations fondamentales.
§ 132. Je supposerai dans ce chapitre que toutes les mo-
lécules du diélectrique sont animées d'une même vitesse de
translation parallèle à Vaxe des x et indépendante du temps.
Je désignerai par p cette vitesse et tout en conservant pour
le moment les axes immobiles 0 X, 0 F et OZ,j introduirai
des axes nouveaux qui sont fixement liés à la matière pon-
dérable.
Le premier de ces axes coïncidera avec OX; les deux
autres seront parallèles à 0 Y et à 0 2 et coïncideront avec ces
axes au moment ^ := 0. Par conséquent, les nouvelles coordon-
nées seront
(x)=:x—pt, (y) = y, (z) = z.
Toute fonction qp qui dépend de r, y, z et < peut également
être exprimée en (x), (y), (z) et t. J'employerai les signes :
si je veux me placer au premier point de vue et les signes:
^ J. J. J. (127^
d{x)' 3(y)' D(z)' D(<) ^'^'>
dans le second cas.
On voit facilement que
mais
0 _ D 3 _ 3
dx~d{x)' dy ~0(y)'
0 D
dz ~d(e)'
0 D
D
dt d{t) ^ d(x) '
§ 133. Dans les équations (II) — (V) on peut introduire les
dérivées (127) au lieu des dérivées (126). Après avoir eflfectué
cette transformation je supprimerai les axes fixes, je désignerai
LA THÉORIE ELECTROMAGNKTIQUK DE MAXWELL. 137
par X, y, z les coordonnées prises par rapport aux axes mobiles
et j'écrirai -— , -r— , ~- , -tti pour ce qui a été repré-
dx v y 0 z d t
sente provisoirement par les signes (127). Enfin, j'entendrai
par (I, 17, C) non pas la vitesse absolue d'une particule chargée,
mais sa vitesse relative par rapport à la matière pondérable,
de sorte que les composantes de la vitesse absolue deviennent
f H- i?, 17 et C.
Cela posé, les équations fondamentales prennent la forme
suivante :
X = 47rK^/ ^/rfr-h^y f n y dv — Ç j n p d v,
Y =4n V-^j (jgdv-^^ fnadT - (| + p)| ^, ;, d r, (1')
Z = 47rV2|ç/idrH-(5-|-p)|ç/5dr — i7|(>«dr,
ôi + o-f + ô7 = ^'' (")
'" + il^pl = o, (iir)
D Z dx
0 p d ce
0
Q V
+(^-''À)''i'^-"^'>
VDy Da;/ V0« ^ dx / ^
§ 1 34. Tant que les particules chargées n'ont d'autre mou-
vement que la vitesse commune de la matière pondérable on
138 il. A. LOKKNTZ.
aura | = iy = Ç nr 0 et la densité dans un point (.r, y, z) sera
indépendante de ^.11 n'en sera plus ainsi lorsque les molé-
cules sont le siège des vibrations électriques dont je me pro-
pose d'examiner la propagation.
Dans cet examen je suivrai pas à pas la voie qui a été tra-
cée dans le chapitre précédent. Seulement, comme la méthode
et les hypothèses resteront les mêmes, je pourrai m'exprimer
plus concisément.
Remarquons encore que si, dans cette étude, il est question
d'un point ou d'une surface immobile, cela signifiera: „im-
mobile par rapport aux axes", ou, ce qui revient au même,
„par rapport à la matière pondérable". Pareillement, on en-
tendra par le déplacement (x, y, z) d'une particule le déplacement
qu'elle a subi relativement à cette matière.
Vibrations produites par une seule molécule,
§ 135. On trouvera d'abord, au lieu des équations (86) et (87) :
o''='"F,+
(r,-^â)i'f!.
A T7'y { ^ Q y*^ Q )
0^_4.F.it^i-(|+,)5-|j,|...(,29)
Dans ces formules, ainsi que dans plusieurs autres qu'on
rencontrera plus loin, le signe D est employé pour indiquer
l'opération
LA THÉORIK F^LKCTROMAGNÉTJQUH: DK MAXWELL. 139
§ 136. Portons dans les équations (128) et (129) les valeurs
(88) et (89), et supposons que x, y, z, J, ?;, Ç soient infiniment
petits. Comme x, y, z sont indépendants de x, y, z tandis que
^^est indépendant de tj on trouvera, après quelques transfor-
mations,
uj — ^y PI j^ -t- 2p /'^ 2^3^ ^0<('
fOzJt 0 y 0 t y
nB — 'invA ^' (g°') _ ^'(gp'^) _ „ ^ (g" ~ '^) !
{ 0 ydt d xd t
0 (gp - g))
OÙ l'on a posé, pour abréger,
D a; d y d z
Introduisons maintenant quatre fonctions auxiliaires qui
satisfont aux conditions:
U^-Qo> (130)
□ Zi = Ço X, n Zî = Ço y, n Z3 = ço 2' • • • (i3i)
et soit
^ +^-^- 4-'^ =^^' (132)
dX d y d z
On aura alors:
140 H. A. LORBNTZ.
(133)
? 2 0 <» ^ D a; 0 r
\
^=:4nVfJj^-l'-^^X-piJ^^I ' ..(134)
Comme la densité q^ est indépendante du temps, l'équation
(130) peut être remplacée par
Du reste, les valeurs (133) et (134) satisfont à toutes les
équations (H')— (V).
§ 137. Je supposerai que, tant que la particule mobile P se
trouve dans sa position d'équilibre, la molécule entière dont
elle fait partie, ne fait naître, en des points éloignés, ni un
déplacement diélectrique, ni une force magnétique, et cela
même dans le cas, où cette molécule est animée de la vitesse p.
Alors, pour obtenir les valeurs de /, jr, A, «, (î, y dues à la
molécule entière et relatives à des points qui se trouvent à
quelque distance, il suffit de supprimer, dans les équations
(13B) et (134), les termes qui dépendent de co. C'est ce qu'on
reconnaîtra par un raisonnement semblable à celui qu'on
trouve au paragraphe 115.
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 141
Théorèmes mathématiques qui serviront à déterminer
§ 138. Je commencerai par chercher une sohition de
l'équation
D V' = 0, (136)
ou
Oa;* 3 y* d z^ dxdt Or
A cet effet, j'introduirai d'abord au lieu de x une nouvelle
variable
_ __r__
et je poserai
P
l/F»-p»"~ ■
L'équation devient alors
La fonction \p qui est regardée ici comme une fonction de
ï, y, z et t peut aussi être considérée comme dépendant de
ï,y,2, et r = ^— p^£.
Si on se place à ce nouveau point de vue, il faut remplacer
0»
0 D
^' -2*-
ar» Va
irO<' ' F' 3<'»'
et enfin
5T®*51>P*^ dt' ®* ôî'ï'
a* D'
par
3j3< ^ DE3«' FOi'»"
142 H. A. LORRNTZ.
On obtient ainsi
ou bien
^ ^ H 0 £' D y* 3 zO
Cette équation a la même forme que la formule (107) ; elle
admet donc la solution
dans laquelle F est une fonction quelconque et
Il en résulte que
est une solution de Téquation (136).
On obtient une solution plus générale si on remplace a?, v,
z par X — x\ y — y\ z — z, x\ y\ z' étant les coordonnées
d'un point fixe. Cette nouvelle solution peut être mise sous
la forme:
1 17/ X + i {x — x')\
•^ = r^0-T7f=p-'). (138)
si Von attribue à r la signification suivante:
'^ = V p^ ("^ ~ "'')' ^ ^y - y'^' + (^ - ^)* • • (i-*^»)
§ 139. La fonction (138), analogue il la fonction
du chapitre précédent, jouera un rôle important dans la thé-
orie que nous allons développer. En effet, elle est propre à
représenter la propagation dans Uéther d'un ébranlement qui
LA THEORIE BLECTRO\f AGNETIQUK DE MAXWELL. 143
part d'un centre unique {x\ y\ z). Les particularités de ce
mouvement se réfléchiront dans la forme de la fonction F et
le lieu géométrique des points (a?, y, z) où cette dernière a une
valeur déterminée peut recevoir le nom de ^surface d^onde".
Or, l'équation
t 4- f ( J? — x')-=: const.
représente une sphère dont, si R est le rayon, le centre est
situé au point fa:' — - ^ fi, y\ z \ . Un ébranlement émis au
moment i^ par un point P de la matière pondérable et se
propageant dans Téther, aura atteint, à un moment postérieur
quelconque <, la surface d'une sphère, ayant pour rayon F {t — t^
et pour centre le point de Véther qui coïncida avec le point
P à l'instant t^. C'est un résultat auquel on aurait pu s'attendre.
Dans les paragraphes suivants on trouvera des formules
plus compliquées et applicables aux cas où la source des vi-
brations a une certaine étendue.
§ 140. Soient:
T un certain espace qui se déplace avec la matière pondé-
rable et dont par conséquent chaque point a des coordonnées
x\ y y z' constantes,
d T un élément de volume situé au point {x\ y\ 2'),
F{t,x\y\z') une fonction finie et continue.
D'après ce qui précède, la fonction
lu»/'. X -h e(x — x') , , A
-Fit— ,x,y,z ]
X \ V^V^—p^ y y!f y J
satisfera à l'équation (136) et, si le point (x^y^z) est situé à
l'extérieur de l'espace t\ il en sera de même de l'intégrale
Y=l-2^( t - ,x ,y ,z ] dv .
Mais, lorsque (.t, y, z) est un point intérieur, on n'aura plus
C'est ce que nous allons démontrer, en entendant toujours
par I la limite de l'intégrale 1 (voir le paragraphe 116).
144 H. A. LORKNTZ.
§ 141. En appliquant la formule générale (104) on trouve
d'abord :
i^= _ Lia. ri f^V f * -l±4ifzil, ,. y', Ad ftU
rOii^/ X + f{x — x) \ ï
jdx(x \ i^K2_pî ' '^' )\
Pour calculer la limite on peut, dans le premier terme, rem-
placer F par F (<, j?, y, 2?). Ce terme devient par conséquent :
ce qui s'annule à la limite. Donc
X-]zx(x \ V-W=^ ^ )^ ' ^ ^
Appliquons de nouveau la formule (104) en y substituant
cette fois- ci
dx I V \ xyv^ — p-^ J)
Si, pour abréger, la fonction qu'on trouve dans les deux
dernières formules est indiquée par F, il vient:
0
+
/o-ïï(f)'^^' =
z= - F(<, X, y, z) Lim [\j{x' - a;)^(i-)d6] +
-^/3^(t>^' (^'^)
On a pareillement
l--^, =-Fit, x, y, z) Lim [j/ (y' _ ,) ^^ (1) d è] -^
et une équation de la même forme pour -r— f . En outre:
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL 145
o-|=/li(i)-
et, en vertu de la formule (140) ^
dxdt~Jdxdt \vj
Substituons toutes ces valeurs dans l'expression
D Z = (F* p») ^ + F» ^-4 + r» ^-^ +
* 0 x^ 0 y^ 0 z^
"^^dxdt D<*"
Comme on a
0(0=0,
et, à la surface sphérique,
on obtient
D X = - F» i^(<, a;, y, z). Lim [r/^] =
=:_4„Ï71/F>-/)» Jî'(<, X, y, z).
11 en résulte que la fonction
1 C^ ipl^ X + f{x — x') , , A , ,
Y = =^== /— FH ^ , x'y ,z\dT
a la propriété exprimée par
Ut = F{t,x,y,z).
,1
1 »
10
146 H. A. LORENTZ.
Détermination de x^, x^y Xz ^^ de f, g, A, «, /9, /.
§ 142. Employons les mêmes notations qu'au commencement
du paragraphe 119, avec cette diflFérence, cependant, que nous
entendons maintenant par (x, y, z) le déplacement de la par-
ticule à rinstant
x\ y\ z' étant les coordonnées du point B et r étant défini
par la formule (139).
Alors, si on pose
i = 47r V^ y^— p2 , (142)
on aura, au lieu des formules (108),
1 f ^ox , , _ 1 r^oy , ,
Xs
=-i/¥'^^' <^'^>
Lorsqu'il s'agit de l'effet qu'une molécule produit à quelque
distance, il est de nouveau permis de regarder t, x, y et z
comme ayant les mêmes valeurs dans tous les éléments. Les
intégrales peuvent par conséquent être calculées de la même
manière qu'au paragraphe 119. En substituant dans les équa-
tions (133) et (134), après y avoir omis les termes dépendant
de tt), et en posant
on trouve, au lieu des équations (109) et (110),
yt—pipy 1 pt /m'A v\ 0' /m'A 3_S;'^ \
L d y
r» D_S^' _ J_ ^ fa^\ p 2^_ /m'A
\
LA THÉORIR ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 147
47r VM D^
a
? =
L (dydt
4:nV*[ D» fv^\ d^ /m'A dS"i
L Idzdt
/m'xX a» /m'A DS"/ ,,.„,
^~" L ^Da;
dt\v ) dydt ytJ'^PdyS'
\
Ici, m'ar, m'y et m'z désignent les moments électriques de la
molécule agissante, à l'instant
^'f y\ 2 étant les coordonnées du point où elle se trouve et
r étant toujours défini par la formule (139).
Du reste, les équations obtenues ont encore lieu lorsque Tam-
plitude des vibrations surpasse le diamètre de la particule
mobile (voir la Note additionnelle).
Valm/r de la force qui est produite par la molécule
elle-même dont la particule considérée
fait partie,
§ 143. Pour trouver, comme au paragraphe 120, la réaction
de l'éther sur la particule vibrante, il faut, au moyen des
équations (133), (134) et (143), calculer les valeurs de /, gr, 7i,
a, /î, / à l'intérieur de la particule elle-même, pour les porter
ensuite dans les équations (F) (§133). Dans les formules (143),
X, y et z représentent les déplacements au moment
^ X'^é(îi — x')_^ r p (a; — x')
ces lettres x, y, z doivent donc être remplacées par
V^172_p2 V^—p^
• • •
si l'on veut entendre par x, y, z, x, y, z les valeurs relatives
au temps t.
10*
148 H. A. LORENTZ.
On trouve ainsi:
Ll^ y2 _ pt
P:- f?.^=A)dr^, etc.
Quant à la fonction œ, qui est déterminée parla condition
(135), elle peut être représentée par
(O
=— Ut^'-
§ 144. C'est ici le lieu d'introduire une simplification qui
nous sera très utile dans tout ce qui suit. Elle consiste à
regarder la vitesse p de la matière pondérable comme si petite,
en comparaison de la vitesse de la lumière, que le carré de
^ peut être négligé. Cela nous permet d'écrire V^ au lieu de
V»— p^ r ouV^(^— a;')'-h (y — yVM^'^^V a^ lî^u det,
et 4 TT V'^ AU lieu de Z, ce qui nous donne
5f'-~4Vl^i7^^-^4^FT"*-4irF^i T ^^'
etc.
co
4:71 V^ J r
Après avoir eflfectué les substitutions nécessaires, entre les-
quelles je citerai encore la substitution (88), et après avoir
supprimé tous les termes en p^, on remarquera dans les ex-
pressions pour les composantes de la force dont il s'agit
maintenant deux groupes de termes, les uns indépendants de
p, et les autres en contenant la première puissance. Je vais
démontrer que ces derniers termes s'annulent et que, par
conséquent, les composantes cherchées ont les mêmes valeurs
que dans le cas où le diélectrique ne se déplace pas, c'est-à-
dire les valeurs (111).
Cette démonstration repose sur un théorème général, qui fera
l'objet des paragraphes suivants. Préalablement, je fais encore
LA THÉORIE âLBCTROMAGNËTIQUE D£ MAXWELL. 149
observer que tous les termes qui contiennent la première
puissance de p renferment également un des facteurs x, y,
z, X, etc. En effet, dans les formules (133) et (134), il n'y a
que la fonction œ qui soit indépendante du mouvement vi-
bratoire; mais dans les fonctions /, g, h les dérivées de cette
fonction ne sont pas multipliées par p, et bien qu'elles le
soient dans les expressions pour |î et /, ces dernières se trouvent
multipliées, dans les formules (I') (§133), soit par une des vi-
tesses X, y, z, soit par la vitesse p elle-même.
Du reste, nous ne ferons aucune attention aux termes dans
lesquels p est multiplié par un carré comme x'*^, ou par un
produit comme x y, parce que x, y, z, x, etc. sont toujours
regardés comme infiniment petits.
§ 145. Concevons un système de particules chargées qui se
déplacent au sein de Téther en excitant dans ce milieu des
mouvements électriques, conformément aux équations (II)—
(V) (§ 90). Soit E un plan fixe et imaginons un second
s^'stème, composé de particules chargées et d'éther, et dont l'état
est relié à celui du premier système de la manière suivante:
Si P et P' sont deux points, l'un dans le premier système
et l'autre dans le second, et qui sont symétriquement situés
de part et d'autre du plan E, on trouvera dans ces points,
à tout moment,
a. la môme valeur de g;
b. des vitesses (J, 17, Ç) et (J', 17', Ç') qui sont l'image l'une de
l'autre ;
c. des déplacements diélectriques D et D' entre lesquels il
y a la môme relation;
d. de telles forces magnétiques H et H' que la seconde est
égale et opposée à l'image de la première.
Le nouveau système qui se trouve ainsi défini, satisfera,
aussi bien que le premier système, aux équations (II) — (V).
Pour s'en assurer, on peut rapporter les deux systèmes à
des axes des coordonnées de la même direction et supposer
que le plan E soit perpendiculaire à l'axe 0 X.
150 H. A. LORENTZ.
Alors, les variables /, g^ h, a, |5, /, ^r-^ , etc , qui ont toutes
la propriété de présenter les mêmes valeurs absolues en Pet
P', peuvent être rangées en deux groupes, le premier contenant
les quantités qui, en P et en P', ont le même signe, et le
second étant composé de celles qui y ont des signes contraires.
Au premier groupe appartiennent, par exemple, 5^, A, r-=^ , r— f ,
et au second groupe/, - — \ , ^ et /5. On verra facilement, et
o tic U X
c'est là le point essentiel, que tous les termes qui sont réunis
dans une même équation font partie d'un même groupe.
Voilà pourquoi les équations ne cessent pas d'être satisfaites
si on passe du point P au point P'.
§ 146. Si, comme il a été dit plus haut, on trouve toujours,
en des points correspondants, des valeurs égales de ç, cela
implique évidemment que les systèmes de particules dont il
s'agit dans les deux cas présentent entre eux la relation qui
existe entre un objet et son image. Cependant, nous avons
seulement démontré que, lorsque le mouvement supposé pour
le premier système peut réellement exister, il en sera de même
du second mouvement, en tant que ce dernier satisfait aux
équations du mouvement de l'éther. Il y faut ajouter la con-
dition que des forces convenablement choisies doivent être
appliquées aux particules chargées elles-mêmes.
Or, il résulte des équations (I) (§ 90) que le vecteur qui re-
présente la force exercée par l'éther sur une particule du second
système est, à tout moment, l'image de la force qui agit sur la
particule correspondante du premier système. En eflet, si l'on s'en
tient à la direction choisie pour le plan -E?, on verra facilement
que tous les termes dont se compose X changent de signe
quand on passe du premier au second mouvement, mais que les
signes dans les expressions pour T et Z ne changent pas.
§ 147. L'application de ces considérations au problème qui
nous occupe est bien simple. Si, dans le premier système, une
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 15I
particule est animée à la fois d'une vitesse de translation p
et d'une vibration dans laquelle le déplacement est (x, y, z),
la particule correspondante du second système aura une vitesse
qui est l'image de p et un écartement qui est celle de (x, y, z).
En vertu de notre théorème, on peut affirmer que les forces
que les deux particules éprouvent de la part de l'éther sont
également symétriques par rapport au plan E.
Dans le cas où ce plan est perpendiculaire à 0 X, chacune
des quantités y, z, y, z, etc. sera, dans les deux systèmes,
affectée du même signe, mais le contraire aura lieu pour p, x, x,
etc. Il faut que la composante X se trouve dans le dernier
cas ; l'expression par laquelle elle est représentée ne peut donc
contenir aucun des produits p x, p x, etc.
En appliquant un raisonnement de la même nature aux
composantes T et Z, et en supposant que le plan E soit per-
pendiculaire à 0 F ou 0 Z, on achèvera de démontrer ce qui
a été avancé au paragraphe 144.
Du reste, dans la Note additionnelle, je donnerai un examen
plus général de la réaction de l'éther sur une particule vibrante.
§ 148. J'admettrai encore que la force aux composantes
— f^ — fy, — f ^
qui est exercée (§ 121) sur la particule vibrante par les autres
particules de la même molécule, est également indépendante
de la translation de la matière pondérable. C'est une hypothèse
que nous ne saurions justifier, puisque nous regardons comme
entièrement inconnu le mécanisme qui produit ces forces in-
térieures. Tout au plus, on pourrait faire voir que le chan-
gement apporté par la translation est de l'ordre ^^ si les for-
ces peuvent être représentées, en deux systèmes correspondants
(§ 145), par des vecteurs qui sont l'image l'un de l'autre.
152 H. A. LORENTZ.
Détermination de la force totale qui agit sur une
particule vibrante.
§ 149. En reprenant les questions dont nous nous sommes
occupés à partir du paragraphe 122, je commencerai par la
force qui est duo aux molécules extérieures à la sphère B.
Soient, de nouveau, a;, y, ^ les coordonnées du centre, où se
trouve la molécule M contenant la particule P et ayant lé
moment électrique (m;r, niy, m<?), D t un élément de volume
situé au point {x\ y\ z') extérieur à la sphère, X la fonction
(139), IDIV, MV> ^'z les composantes du moment électrique
rapportées à Tunité de volume et relatives au point {x\ y\ z)
et à l'instant
Cela posé, un aura les valeurs de /, g^ A, a, |î et / que
l'élément D r seul produit au centre de la sphère, si on
remplace, dans les formules (144), (145) et (146), mV, m'y, nfi'r
par IDI'^r D r', M'y D r', fH'z D r et une intégration sur l'espace
extérieur à la sphère nous fera connaître les valeurs de/, ^r, h,
«, ?} y q^î sont produites par toutes les molécules de cet
espace. Si, dans les coefficients, on écrit V^ au lieu de V^ — p^
et in V^ au lieu de L, et si on pose
(t)+ô|('^)-tXt)=^'
d X
on trouve :
f-LfP^ ±^'{ÏÏA P.^^Jf^\ ^'1/)'
^ =d L^-F^ oTV r ) +F^ D^<V tVJ ^ ' ' S^^^^
~4nJ ldz~v^M^\v J'^v^dxdtKt Jj '
I
LA THÊOBIK ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 153
rr D' /MV\ 3' /M'A 3 S"! ,, ,
r =1 Iz^Fty-Y )- ^wt \T) ^ ^"^tJ ^ ' •
§ 150. Soit, pour simplifier,
ces intégrales, qui se rapportent à Tespace extérieur à la
sphère B et dans lesquelles [Dl'.r, IDIV» M'« sont toujours les
valeurs des moments électriques au moment
X -^ fr ix — X')
l _
seront des fonctions de a?, y, 2 et <.
Ecrivons, pour un moment,
\hx = F{t,x,y,z),
et, par conséquent,
X -{- t{x — x')
L'intégrale ' 3Jl.r devient par cela analogue à Tintégrale x du
paragraphe 140 et on trouve
d
et
0
0
Il est vrai que le rayon B de la sphère B n'est pas infini-
ment petit, comme Tétait celui de la sphère b du paragraphe
116, mais il a été supposé si petit qu'on peut, à la surface
B, remplacer M'a? par M^.
En négligeant des termes de Tordre p^, on peut, dans la
première intégrale, remplacer X par la distance r, ce qui nous
donne :
MV=i^{ t—\..; — =^ ^x\y\z ) .
X i dx \ X J
154 n. A. LORENTZ.
^'m. 4 .. f d^ /M
dx'' 3
Pareillement :
0^ m.
7Z TT
"'^IMy)"''-
J dxuy \ X /
d xd y J d xdy
etc.
Enfin :
d^m. fd
= li; m -■.
- f 11 /^— ^ D r'
Oxdt J Oxùt\ V J
etc.
§ 151. Ces relatious conduisent à écrire, au lieu des expres-
sions (147) et (148),
1 1 r d^ i_ 0^. ^ o*aR. -]
a
d y d t dzd t ^
OU
^"^ ~ dxdt dydt ~^ ^ dy '
03K^ 0 m, d m.
d X d y d Z '
§ 152. Il nous reste à porter ces valeurs dans les équations
(r) (§ 133), qu'on peut préalablement simplifier en regardant
fy 9) hj a, (5, / comme constants à Pintérieur de la particule
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 155
P. Les composantes de la force exercée par la partie du diélec-
trique qui se trouve au dehors de la sphère B deviennent
ainsi
,=:4 7r Pe5r+ —-a—-^y — peY, .- - (150)
Avant d'effectuer les substitutions (§ 153), j'appellerai l'at-
tention sur l'ordre de grandeur des différents termes. Confor-
mément à ce qui a été dit au paragraphe 125, on a
-'^=)T'^o^(=)p'-D7^(=>¥-^'^'^-
De plus;
i(=) V^.
Donc, si on désigne par/, ...^/, les parties des six fonc-
tions qui ne contiennent pas le facteur p et par f^ y^
celles où il se trouve,
/,(=)<;. (=)/i,(=)iM+^-j^,
/î i=^9i (=) ^2 (=) 4^p Y^, ,
«,(=:)iî,(=)y,(=) ^,
Passons rapidement en revue les termes qui paraissent dans
les expressions pour X , • T , , Z , .
a. Les produits 4 tt V* e /, , 4 tt F* eg^ et 4 7t F' e/i, con-
tiennent des parties qui sont du même ordre de grandeur que
e m
b. Comme -^ (=) - .
156 H. A. LORKNTZ.
les termes de la forme
sont comparables à
d fïïy
"dt ^'
ebm
ils peuvent donc être négligés en présence des produits pré-
cités, et cela parce que Tamplitude 8 est beaucoup plus petite
que la longueur d'onde 0- F.
c. Les expressions ^nV'^ c/,, etc. sont de l'ordre:
Ces termes devront être conservés, parce que ce sont eux
qui détermineront l'influence de la translation du diélectrique.
d. Au contraire, on peut omettre toutes les quantités de la
forme
d Vtiy
dt
ri\
en effet, on obtient une idée de leur grandeur au moyen de
l'expression
V &
3 f
qui est très petite en comparaison de la fraction (151).
e. Les termes pey^ et pe^^ doivent être retenus, parce
qu'ils sont de l'ordre
et, i)ar suite, comparables aux termes que nous avons nom-
més en troisième lieu.
f. Enfin, on peut naturellement négliger
pey^ et pe^^y
ces produits étant proportionnels à p^.
LA THÉORIE 6lECTR0MAGNÉTIQUB DE MAXWELL. 157
§ 153. Voici maintenant le résultat final des substitutions:
Il importe de signaler l'origine différente des deux termes
4n V"^ eg^ et — p^/t qui, par leur combinaison, ont produit
le terme p e -r — — . Le premier provient de ce que le dépla-
cément diélectrique qui est excité par les particules vibrantes
est modifié par la translation p. Le second est simplement la
force que la particule e subit en vertu de son mouvement,
avec la vitesse j?, à travers le champ magnétique que les
vibrations ont fait naître. Des remarques analogues s'appli-
quent au terme p e r— x^ dans l'expression pour Z , .
§ 154. Représentons, comme au paragraphe 126, par
les composantes du déplacement diélectrique et de la force
magnétique qui sont produits par des causes extérieures au
corps considéré. A ces composantes correspondra une force,
agissant sur la particule P et ayant, d'après les formules (F),
les composantes
47rV^ef^,inV^ego—per^,4nV''eho-hpe^o^ . . (152)
Pour la raison qui a été alléguée au paragraphe 1 26, nous
avons omis ici les termes de la forme
dïïïy
§ 155. Pour compléter cet examen de la force qui agit sur
une particule vibrante, nous avons encore à étudier Faction
des molécules qui sont incluses dans la sphère B. Les com-
posantes de cette force seront de nouveau indiquées pare3Ê',
158 H. A. LORENTZ,
e ^', e 3'; leurs valeurs moyennes, les seules dont nous aurons
besoin, seront déterminées — du moins dans un diélectrique
donné — dès que l'on connaît pour chaque instant les valeurs
de fhx, My, M^ au point considéré [x, y, z). En effet, la sphère
B est très petite par rapport à la longueur d'onde; on peut
donc faire abstraction du changement que subissent M^r, My, M;r
quand on passe d'un point à Tautre
C'est ainsi que, pour un milieu immobile, on pourrait écrire
(§§ 127 et 106):
e W= A M:r, e W= A My, e^=: ^ M., (153)
A étant une constante, dont la valeur n'aura du reste aucune
importance pour ce qui suivra.
Quelle est maintenant l'influence de la translation imprimée
au diélectrique? Elle pourra donner lieu à des termes qu'il
faiit ajouter aux composantes (153), et qui forment des séries
ordonnées suivant les puissances ascendantes de la vitesse p.
Nous nous bornerons aux termes du premier degré.
Un coup d'œil sur les formules (I'), (145) et (146) suffit
pour comprendre que tous les termes dont il s'agit doivent
i) M
être des fonctions linéaires de ÎHx, My, M«, -^rr^, etc. Si donc
o t
<) M
nous désignons par {fHa) une fonction linéaire de Mar, -t— ,
etc., en attachant un sens analogue aux signes (My) et (M«), on
aura, au lieu des composantes (153) :
e^'=Ans'hp\{n^)t -h(My), +(M.), j ,
e^' = Any+p\ (M.), + (My), -h (M.), j , [ . . (154)
e 3'=^M.-hp|(M;r)3 + (My)3 -h(M.)3 j .
Or, dans le cas d'un diélectrique homogène et isotrope, tous
les termes en p doivent s'annuler. C'est ce que nous démon-
trerons dans les deux paragraphes suivants; après cela, nous
reviendrons à l'étude du mouvement des particules (§ 158).
LA THÉORIE éLECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 159
§ 156. Ppur arriver à la simplification que je viens d'indi-
quer, on peut se servir d'un raisonnement analogue à
celui qu'on trouve dans les paragraphes 145 et 146. Après avoir
choisi un plan fixe E, on peut concevoir un système N' qui soit
à tout moment l'image exacte du diélectrique considéré iV, et cela,
non seulement en ce qui concerne l'état de l'éther et la dis-
tribution des particules chargées, mais aussi en ce qui regarde
les autres parties constituantes de la matière pondérable; en
effet, nous nous figurerons qu'à chaque point matériel du
premier système corresponde, dans le second, un point qui
est doué des mêmes propriétés. Nous avons déjà vu que le
nouveau mouvement est compatible avec les équations (II) —
(V). Ajoutons maintenant que, si le premier système satisfait
aux équations qui déterminent le déplacement des particules
chargées, il en sera de même du second corps. La raison en
est que non seulement les vecteurs qui, dans les deux corps,
représentent les accélérations des particules, mais aussi ceux
qui indiquent les forces, s'accordent entre eux comme des
objets et des images correspondantes. C'est ce qui a été dé-
montré au paragraphe 146 pour les forces qui sont exercées
par l'éther; et il est naturel d'admettre la même chose pour
celles qui sont en jeu à l'intérieur de molécules correspon-
dantes.
§ 157. Un corps amorphe et parfaitement isotrope est
tellement constitué qu'il possède les mêmes propriétés qu'un
corps qui en serait l'image; du moins, il en sera ainsi tant
qu'on se borne aux phénomènes dépendant d'un grand nombre
de molécules. On pourra donc prendre pour iV' un corps qui
est absolument identique à iV et qui est orienté de la même
manière, et non pas en sens inverse ; dans ces deux corps, il
pourra toujours exister des mouvements qui sont l'image
l'un de l'autre en ce qui regarde tàa^, My, Mr et les forces
moyennes agissant sur les particules.
Je rapporterai les corps N et N' à un même système de
coordonnées, et je supposerai, on premier lieu, que le plan E
160 H. A. LORENTZ.
soit perpendiculaire à Taxe des x. Alors, les quantités fh^ et
\hz auront, en deux points correspondants, les mêmes valeurs
et les mêmes signes, mais M;r et p (la translation étant tou-
jours dirigée suivant 0 X dans le premier corps) auront, à
valeurs égales, des signes contraires. D'un autre côté, les forces
e 36', e D', e 3' auront, dans les deux corps, les mêmes valeurs
absolues, mais ce ne sont que les deux dernières qui auront
également, en iV et N\ les mêmes signes.
Comme, du reste, les coefficients dans les fonctions linéaires
(Mr),, etc. seront les mêmes dans les deux cas, il faut que le
terme p (M^r) , s'annule ; en effet, ce terme aurait, dans les deux
corps, le même signe. Les termes p (My) 2, v{^^)i} P{^y)zi
p{fhz):^ doivent s'annuler pour une raison semblable, et, en
considérant l'image du mouvement par rapport à des plans
perpendiculaires à 0 Y et 0 Z, on démontre la même chose
pour les termes p(My),, p(Mz),, p{f^x)^j p([Dlar)3. On peut donc
toujours se servir des équations (153).
Équations du mouvement d^une particule.
§ 158. En rassemblant les données dispersées dans les pa-
ragraphes 144, 148, 153, 154 et 155, on voit que la formule
(121) et les deux autres que nous aurions pu lui ajouter doi-
vent être remplacées par
02^ o^3K. io^3K. D2-n
^^ dx~ dt^ ^TP\dTdi^ dtW^^''^^^^^^^^
. f e^ .. r4
miy = — fy + 47r V^ 1] j QQ(odT + y ^-hej gTrP MyH-
(155)
^ dz dt^
P^^t] "^ ^^^' '^'^ "^ P^i^o+^3'.
LA THÉORIK ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. I 61
Je ferai subir à ces formules les changements qui ont été
indiqués au paragiaphe 128 — en divisant cependant par e
et non pas par e V — et, pour abréger, je réunirai en un
seul terme tout ce qui résulte de chacun des trois groupes
• r 4
En ayant égard aux formules (153), on trouve pour ces trois
groupes
[jnV^^ _^__! JM,_^^ __ , etc.
Je me bornerai à des vibrations simples de la période &.
Dans ce cas:
-g^ = --^M., etc.
Donc, si on pose
=4 7rQ,
Ne''
les trois groupes deviennent
47rQM;r, 47rQMy, ^nQfhz.
Il n'est pas nécessaire de nous occuper de la valeur de Q;
il nous suflSt que pour un corps et une durée de vibration
donnés, cette quantité est une constante, indépendante de la
vitesse p.
En somme, les équations (155) prennent la forme
A nu ^V^^^ O^aJl^r,^ J0^3«:r O^'L. l/2f-0
4 . e M, + P J-f-Çf^^P '^ ^4.FV.-p..=0, (156)
11
162 H. A. LORBNTZ.
Équattofis différentielles qui déterminent Ma-, My, tHz.
§ 159. Dans le chapitre précédent, nous sommes parvenus
à ces équations en soumettant la formule (122) à l'opération
1_ 0^
Maintenant que les équations (156) se rapportent aux axes
mobiles 0 Z, 0 Y, 0 Z, c'est l'opération
qu'il leur faut appliquer.
On fait disparaître ainsi /q, g^y /t^, a^, /5q, /q, parce que
Comme, de plus (§ 150),
na».- = -47rM.,na»y = -47rMy,n3». = -47rM^,
il vient
r\r-nêÊ T7î^^ . ^^"'^ (3* Mot D ^' i ^
on M _yî^+ ^liî? _ „ i!!^ — 0
où nous avons posé
0 Ma: , 0 My Dm;?
d X d y d z
Entraînement des ondes lumineuses par la matière
pondérable.
§ 160. Concevons d'abord des ondes planes qui se propagent
dans la direction de 0 X, Les moments électriques sont alors
indépendants de y et de z et on peut satisfaire aux équations
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DK MAXWELL. 163
en supposant qu'ils ont partout la direction de 0 Y. En
effet, en posant M^ = Mz ="0 et en supposant My indépendant
de y et de z, on satisfait à la première et à la troisième des
équations; la deuxième se réduit à
ou bien, si on néglige toujours les termes en p*, à
où
&■= 1
La fonction
My = c C08 -^y—j^j
satisfait à cette équation, si
W* W ^ '
d'où l'on déduit pour la vitesse de propagation, en négligeant
de nouveau les termes en p*,
W=:±-~ ^ (157)
Pour p =r 0, cette valeur devient
la vitesse W^^ dans le cas où le diélectrique se trouve en
repos est par conséquent donnée par
g{ \^~Q n'est autre chose que l'indice de réfraction v. La
ferra ule (157) devient par cela:
P
pr=±TF„- ,
ir
164 H. A. LORENTZ.
C'est la vitesse de propagation par rapport à la matière
pondérable. Pour obtenir celle du mouvement relatif des ondes
lumineuses par rapport à Téther, il y faut ajouter la vitesse
p. On obtient ainsi:
±«'o+(l-^)p.
Quel que soit le sens dans lequel les ondes se propagent
— c'est-à-dire quel que soit le signe qui précède W^ — on
voit que le mouvement de la matière pondérable avec la
vitesse p imprime toujours aux ondes une vitesse qui est
une fraction déterminée de p. Le facteur
i-7r (1S«)
est précisément le coefficient d'entraînement que Fresnel a
introduit dans la théorie de l'aberration et qui peut servir à
rendre compte des expériences de M. Fizeait '), répétées dans
ces dernières années par M M. Michelson et Morîey '), sur la
propagation de la lumière dans une colonne liquide qui se
déplace.
Remarquons encore que, d'après notre théorie, la valeur
(158) est applicable à chaque espèce de lumière homogène, si
seulement on entend par t/ l'indice de réfraction qui lui est
propre ^).
§ 161. Lorsque la direction de propagation des ondes est per-
pendiculaire à celle dans laquelle se déplace le milieu, il faut
distinguer deux cas principaux. Dans le premier, les vibrations
électriques sont normales au plan qui contient les deux directions
indiquées; dans le second cas, elles sont parallèles à ce plan.
^) Comptes rendus, T. 83, p. 349; Pogg. Ann., Erg. 3, p. 467.
*) American Jommal of Science, 3d Ser., Vol. 31, p. 377.
3) Dans un Mémoire qui parut en 1880 (Phil. Mag, 5th Ser., Vol. 9,
p. 284). M. J» J. Thomson s'est occupé de la propagation de la lumière
dans un diélectrique qui se déplace. Cependant, dans cette étude, il n'est
aucunement question de la perméabilité pour l'éther et, suivant Tauteur,
le coefllcient d'entraînement aurait toujours la valeur \.
s
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWKLL 165
a. Le premier cas se présente si M.r == My = 0 et
Les trois équations se réduisent à:
mais l'opération Q équivaut maintenant à
p_^_ ^'
L'équation ne contient donc plus p et la vitesse TT devient
indépendante du mouvement du milieu.
6. Dans le second cas, les vibrations ne peuvent plus être
rigoureusement transversales ; elles feront avec la direction de
propagation un angle dont le complément est de Tordre ^ .
Cependant, la vitesse de propagation reste
En efiet, on peut satisfaire aux équations du mouvement
par les valeurs:
it, = c cos^ Çt - ^y
Il est facile d'étendre ces résultats à une direction de pro-
pagation quelconque.
166 H. A. LORENTZ.
NOTE ADDITIONNELLE.
Pour simplifier autant que possible les considérations qu'on
vient de lire, je me suis borné au cas où l'amplitude des par-
ticules vibrantes est plus petite que leur diamètre. Je vais
démontrer maintenant que les résultats obtenus subsistent
encore lorsque les excursions sont beaucoup plus considérables.
C'est le théorème du paragraphe 141 qui nous permettra
d'arriver à cette théorie plus générale.
Valeurs générales de /, g, h, a, /5, /.
1. Reprenons d'abord le problème d'une seule particule
mobile (§ 135). Les composantes du déplacement diélectrique
et de la force magnétique qu'elle produit dans l'éther satis-
feront partout aux conditions (128) et (129), les derniers mem-
bres étant des fonctions connues de x, y, z et t, si on regarde
comme donné le mouvement de la particule.
Représentons par
% (<, X, y, z), ® {t, X, y, z), § {t, x, y, z),
21 (t, X, y, 2), 33 {t, X, y, z), 6 («, a?, y, z)
ces fonctions, qui, du reste, sont 0 dans tous les points que
le corpuscule n'atteint pas.
Alors, on satisfait aux équations (128) et (129) par les valeurs :
/= -^j\%{t-^y,y\z')dT',g=- ^l^^{t-*,x-,y',z')dv',
h=-~j^^{t-»,x',y',z')di',. . . . (159)
i fi i fi
«= — — JY2l(<-x,a;',y',z')dr',(9=— -^j— S3{<— x,a',y',z')dr',
yz=z--j-lj^(t-,c,x,i,\z')dT; (160)
où
LA THÉORIB ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 167
_ r -i-fix — x') _ X p{^~ ^')
et
Rappelons encore que, dans leô formules (159) et (160), et
dans celles qui vont suivre, le signe 1 a toujours la signifi-
cation de Lim i (§ 116).
Avant d'employer les valeurs trouvées, il est nécessaire
d'examiner si elles satisfont aux équations primitives (IF) —
(V) (§ 133). Je n'écrirai pas au long toutes ces vérifications ;
je me contenterai de faire voir que
dX dy d Z ^'
Vérification de la formule (II').
2. Si la fonction U dont il fut question au paragraphe 116
devient 0 à la surface cr, la formule (103) se réduit à
dl f dU . , r dU
d X
Jrdx' Jrdx
ce qui restera vrai à la limite, pour r = 0. D'autre part, il
est clair que
(À + -à ) Ît ^ ('-'*' -'' y'' 'i^- [^] ii ^ (' - "' -'' y'' 'i'
si par le signe I - — ; 1 on indique une difFérentiation dans
laquelle t et x sont regardés comme constants.
De ces formules on déduit
168 H. A. LORENTZ.
avec (les expressions analogues pour —- et - — .
d y 0 z
Posons :
^ d i^y ^, y y g) . d®(t,x,y,z) d JQ (<, X, y, z) _
Ô^ ■*" d^ ^ d'z n(t,x,f,,z).
Alors,
+ l^ = -^f-^ri(t-^^x\y\z)dT' . . . (161)
df dg dh 1 ri
dx d y
En se rappelant que, dans les formules (128), x,y,z sont
les coordonnées d'un point immobile par rapport aux axes
et que, par conséquent,
0
D
on trouvera
^ ^ 3a!3< 3 <»
Soit
Q=i»{t,x,y,z);
alors :
* [^] + 2p [À]3V3>i*^'-'''^''^''^')'
où les crochets signifient la même chose que ci-dessus.
Mais, en écrivant & au lieu de & {t — x, x, y\ z), on a
oo-_ oo-ox r^^^^i
-hF
0 a;'
0^ 0- 00-O^x 0»
-H I :^^ I , etc.
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 169
Au moyen de ces relations on peut éliminer les dérivées:
[H] ' [o^J ' '^■'
ce qui nous donne
H-
d7 +
r Lr ^ dx ^)dxdt dy dy dt dzdz dtj
En ayant égard aux valeurs de x et de t, on démontre que
le terme en — j s'évanouit et que les termes qui suivent peu-
vent être mis sous la forme:
Idx'
/I/o os f7*i
H- ^^
1-2 ^
Dans la formule (161), cette expression donne lieu à des
termes dans lesquels Tintégration par rapport à Tune des
variables x\ y', z' peut être efifectuée. Le résultat est la limite,
pour Lim r=:0(§116), de Tintégrale suivante, étendue à la
surface sphérique 6:
+ V^ (2 —Z)p^,+p (x'-X) { d b.
0 z )
170 * H. A. LORENTZ.
On voit facilement que cette limite est 0 et que, par con-
séquent, réquation (161) devient
3. La dernière formule devient, par une intégration partielle
réitérée,
- -i-I-"» [J/»j( •"-?■)(« -»te (t) + "• <"■ -»)5? (î)
+
+
•"<^-')5^(t)!"]-
Le deuxième terme est 0 et dans le troisième on peut
remplacer
^(< — X, x\ y\ z')
par la valeur de cette fonction pour x' :=zx, y =. y, z = 0,
c'est-à-dire, par
% (<, r», y, z) ou ç.
Ce terme devient ains':
-^-LimLrj^J=^.4.r ^ = ç.
D'un autre côté:
donc
^S '^ g ^^_ ^ r a F n
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 171
Déplacement diélectrique et force magnétique quune particule
vibrante produit à quelque distance.
4. Prenons pour origine le point où se trouve le centre de
la particule lorsqu'elle occupe sa position naturelle. Alors, les
valeurs de x , y' , z pour lesquelles les fonctions :
I ^(^-x, x\ y\ z), etc (162)
diffèrent de 0. seront très petites par rapport à la longueur
d'onde. Elles le seront également par rapport k x, y^ z et t,
si le point (r, y, z) pour lequel on veut calculer /, g^ A, a, (î, /
est situé dans une autre molécule, même lorsque celle-ci est
une des plus voisines.
Cela posé, on peut développer les fonctions (159) et (160) en
séries rapidement convergentes. Soient 1*0 et Kq les valeurs qui
correspondent à x = y' =: 2 =r 0, et désignons par r— , , etc.
des différentiations dans lesquelles on regarde comme constants
les X , y\ z' qui entrent explicitement dans ces fonctions et
comme variables seulement X et x. Alors:
+ y'lD^ \[\%{.t-rc,x,y',z)\+ etc.
En efiFectuant les iifiFérentiations indiquées dans le second
membre^ on est conduit à des expressions contenant des dé-
rivées de — % (t — X, X ^ y\ z) par rapport à t et à x, mul-
tipliées par des dérivées de t et de x par rapport à x , y , z\
Dans les dérivées de la première espèce, on remplacera X et
X par to et Xo; dans celles de la seconde espèce, on substi-
tuera en outre a?' c= y' = 2' = 0.
172 H. A. LORENTZ.
Or, tout cela peut être exprimé bien plus simplement. En
efifet, pour les fonctions dont il s'agit ici,
= r— T- etc.
I dx"" ! dx^
et, lorsqu'il est question des dérivées par rapport à ar, y, z,
la substitution de X^ et a^ pour r et x peut avoir lieu avant
la difiFérentiation.
Donc:
g; (t — K, x\ y\ z')= — '^{t — x^, x\ y\ z') —
X, Ko
et, d'après les formules (159) et (160),
- i [il' ^''h 2- 'ù Ihh %^^']^-)^^^ (164)
où, pour abréger, on a écrit %y ®, §, 21, 35, ® au lieu de
%it- «o, ^\ y , ^'\ ® (< - «o, -t^', y , ^'), etc (166)
6. Si on entend par q la densité de la charge qui existe, au
moment <, dans le point {x ^y\z\ et par (5, 17, C) la vitesse
dont la particule est animée à ce même instant, on aura:
LA THÉORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL. 173
La même expression peut être prise pour la première des
fonctions (166), pourvu seulement qu'on prenne pour ç, |, iy, C,
-T- les valeurs relatives au temps t — Xq. Recherchons ce qui
d z
en résulte pour les intégrales de la formule (164).
a. Valeur de / ^ d r'.
On a évidemment:
et cela parce que la densité q est une fonction continue des
coordonnées qui s'évanouit aux confins du champ d'intégra-
tion '). D'un autre côté:
I ç d r' = 6.
Si donc on entend par (m^r, riîy, Wz) le moment électrique,
à l'instant t — Xo> ^^ la molécule dont la particule vibrante
fait partie, on aura
et
b. Valeurs de jx'%dT\ {y'%dr\ fz'^dr'.
En intégrant par parties, on trouve
*) Ce champ sera limité par une surface fixe quelconque enveloppant
la particule oscillante.
174 H. A. LORKNTZ.
De plus, on aura
et, X étant la première coordonnée du centre,
lxQdT'=xJQdTZ=ex.
Vu, cependant, que nous avons pris pour origine des coor-
données la position naturelle du centre, on peut écrire
j X Q dr :=:mx:
donc
Pareillement
!, Valeurs de j af^ %(It', etc.
d|
d t
Dans le calcul de ces intégrales nous nous servirons des
formules
jx'^ ^ d r' =— 2|a:> d ir' = — 2 m;r,
j X y -% d r'= — j y Qdr = — niy, etc.
Le terme principal ( V^ — p^) ;rp de l'expression (167) ne con-
tribue en rien aux intégrales:
T.A THÉORIE éfiECTROMAaNéTIQUE DE MAXWEMi. 175
fy'^ddr, jz\%dr',ly't"^dT,
mais, dans les intégrales
fx'^%dv',jx'y'^dT',jx'z'%dr',
il introduit les termes
— 2{V^—p^)m^, — {V^—p^)my,-iV^—p')mz. . (168)
Ce sont ces expressions qui joueront un rôle dans le résultat
final. Tout ce que les autres termes de Texpression (167)
fournissent aux intégrales dont il s'agit maintenant peut être
négligé. En effet, nous admettrons que Tamplitude des vibra-
tions n'est qu'une fraction insignifiante de la longueur d'onde
et que, par conséquent, les fractions
l ± 1
V F' V
ont une valeur insensible.
En vertu de cette supposition, nous n'aurons pas à nous oc-
cuper des termes
les parties correspondantes des intégrales cherchées étant extrê-
mement petites par rapport aux produits (168).
Quant au dernier terme de la formule (167), il introduit
dans
fx'^ddr\ fy'ddr, (z'^^dv'
les termes suivants:
^f l Q^'^ dr\ etc.
Désignons de nouveau, par d l'amplitude et par & la durée
d'une vibration. Alors, les derniers termes sont du même
ordre de grandeur que
176 H. A. liORKNTZ.
et peuvent, par conséquent, être négligés par rapport aux
expressions (168).
Le terme principal de l'expression (167) est donc bien le
seul dont il faille tenir compte dans le calcul des intégrales
et, dans le développement (164), il n'est pas nécessaire de
nous occuper des dérivées d'un ordre supérieur au deuxième.
6. En résumant ce que nous venons de trouver, et en écrivant
ï au lieu de X^, on obtient :
_ 1_S^ /nigN e(F^— p^) 3 /1\
+--L
LOa;' \t j'^ dxd'y \X J "^ OaiOzVï/J"
Par un raisonnement que nous avons employé plusieurs
fois (§§ 115 et 137), on démontre qu'il faut omettre le terme
e{V^—p'i) 0_/l\
L dx\xj
si Ton veut obtenir la valeur de / qui est due à la molécule
entière dont la particule vibrante fait partie. Cette valeur de-
vient donc:
LA THEORIE ELBGTROIIAGHETIQUB DE MAXWELL. 177
-h
où la fonction S^ est celle qui a été définie par la formule (144),
7. Pour que ce résultat s'accorde avec la première des
équations (145), il faut qu'on néglige les termes
-h
Or, ces termes sont les seuls dans lesquels les moments
m:r, niy, Wz se trouvent multipliés par une des composantes de
la vitesse vibratoire; on en diminuera les valeurs autant qu'on
voudra en supposant suflSsamment petites l'amplitude et la
vitesse des vibrations.
Ce degré de petitesse nécessaire est-il atteint dans les cas
qui se présentent en réalité? Pour répondre à cette question,
nous considérerons de plus près l'ordre de grandeur des termes.
Remarquons d'abord qu'une différentiation par rapport à
t introduit le facteur — . Au contraire, une différentiation
par rapport à x donne lieu à deux termes différents. D'un
côté, dans les fractions dont il s'agit, le dénominateur t est
une fonction de a-, et, en ce qui regarde l'ordre de grandeur,
les dérivées A (^i.^, |j,(^). ^ (Y)peuvent être rem-
') Dans cette équation, les signes mjr, my, niz représentent ce qui a été
indiqué, au paragraphe 14^, par m'a:, m'y, m'z,
12
178 H. A. LORENTZ.
placées par -^ . Mais, d'un autre côté, les numérateurs, tels
que Wx ou niarl, dont les valeurs doivent être prises pour
rinstant t — x, sont par cela même fonctions de .r, y, z. Si
on désigne par A un quelconque de ces numérateurs, on aura
Cette dérivée se compose donc de deux parties, Tune de
Tordre
OV
et Tautre de Tordre
A p
Si, dans Tex pression (170), on omet pour un moment les
termes de cette dernière catégorie, il ne reste que des quantités
comparables à
1 ^^_ m3_ 1 aV a _ mS
Lty' x^ — La^x^ Lu X ~ L^^Vx' ' ^^^^^
D*autre part, dans la première des formules (145), le premier
terme donne lieu à des expressions (jui sont du même ordre
de grandeur que
Fj m rjn _m_
Lx^ ' Lox^' L&^x ^^^^
et le terme 1 0^ /nix\
~TdV- \x)
est du même ordre que la troisième de ces expressions.
En divisant la première des fractions (171) par chacune des
fractions (172), on obtient
8x ^ ^
V ' X ' X '
X étant la longueur d'onde ù F, et la seconde des fractions
(171) conduit do la même manière à
'ùr^ S_X 8_
LA THEORIB ÉLECTROMAGNIÊTIQUE DE MAXWELL. 179
Il n'y a aucune difficulté à admettre que r et - sont des
fractions négligeables et que, par conséquent, les quantités (171)
peuvent être négligées par rapport à celle des expressions
(172) qui est la plus importante. Si, pour se mettre à l'abri
de toute objection, on désire que les termes (171) soient très
petits par rapport à chacun des termes (172), il faut que t ou,
ce qui revient presque à la même chose, la distance pour
laquelle on veut calculer l'action d'une molécule, soit petit par
rapport à
Vu l'extrême petitesse de 5 par rapport à X, cette limite
peut être un multiple très élevé de la longueur d'onde et dans
la déduction des équations du mouvement on peut se borner
à une partie du diélectrique, dont les dimensions soient beaucoup
plus petites que la longueur (173). En effet, on se rappellera
que nous n'avons rien supposé sur ce qui se trouve à l'ex-
térieur de la surface (t (§ 123).
Quant aux termes dans l'expression (170) qui contiennent
le facteur p, l'ordre de grandeur qu'ils présentent est dé-
terminé par
on démontre facilement qu'ils peuvent être négligés par rap-
port au terme:
L \ZxZi\x) ZiS
qui figure dans la première des formules (145).
8. Je n'insisterai pas sur la démonstration des deux autres
formules (145), qui n'offrent rien de nouveau. Il suffira d'exa-
miner encore la valeur d'une des composantes de la force
magnétique. C'est la valeur de |îqueje choisirai, parce qu'elle
est moins simple que l'expression pour a,
12*
■^ 2 dx^
180 H. A. LORENTZ.
Il faut se servir maintenant de la deuxième des formules (165),
^=-T(i/*^'-à[if»^']-
Or, en partant de la valeur
on trouvera:
S d r' = 0,
x aSdr = — 47r V»Çe = — 4,r F» ^' ,
a z
y s d r' = 0,
z'S3dT' =An P (I +p)e= 47r F> (^ + P«)'
a;'»S5dr'=: — 4jr F».2ni^C.
2/'>a5dr' = 0,
2'»Sdr' = 47r V\2mz{^+p),
2/' 2' as d t' = 4 TT n my (f + ;)),
En portant ces valeurs dans l'équation (174), on obtient:
1°. les termes qu'on voit dans la deuxième des formules (146), •
2°. le terme
4 71 F»
L '^ d
p e
d~z\T)'
LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE DE MAXWELL.
181
qui est indépendant du mouvement vibratoire et qui dispa-
raîtra, par conséquent, dans la valeur de |5 produite par la
molécule entière;
3°. le terme
nV^
oz { cx \ X / ^y \ '^ / oz \ X / ) J
qu'on peut négliger pour les rnêmes raisons qui ont conduit
à Tomission des termes (170).
Détermination de la force qu^une particule vibrante éprouve
en vertu de Vétat de Véther qu^elle excite elle-même.
9. Pour calculer cette action, il faut recourir de nouveau
aux formules (159) et (160); cependant, on les simplifiera
cette fois-ci en ayant égard à ce que a est un intervalle de
temps très court.
Commençons par rappeler les valeurs des fonctions ^, (S,
etc. En désignant maintenant par q' la densité électrique et
^ ^ -, les valeurs des dérivées pour l'instant
par
' )
dx' ' dy ' dz
t — x et le point {x ^y\z' ), on peut écrire :
@(<-
X, x\ y', Z-) = _ (I + ^) , ^; +(F^-,^)J^; -
^{i-
0 X ^y
(176)
182 H. A. LOEENTZ.
^{t->c,x',y',^)=AnV^ [ç 1^ -{^ + p)^J,~^, ' (176)
6(<-x,a;',y',0') = 4^ r» [(?+p) ^-,11-].
Dans ces expressions, il faut entendre par |, iy, Ç les com-
posantes de la vitesse vibratoire à Tinstant t — x. Mais, dans
le cas qui nous occupe actuellement, les valeurs de x — x,
y — Vi ^ — ^ sont très petites par rapport à la longueur
d'onde et le temps x le sera par rapport à la durée d'une
vibration.
Il est donc permis d'écrire
1 = 1^ — Jc 1^
71'=. rit — X 7]t^
où l'indice i indique les valeurs relatives au temps i. De plus,
les termes x|/, xiy/, peuvent être traités comme des infini-
ments petits, ce qui nous donne:
(I + p)2 = (1^ + p)2 _ 2 X {h 4- p) 1/, etc.
C'est ainsi que tous les coeflScients de — , etc. peuvent
uX
• • •
être exprimés en |<, rn^ Ç^, |/, rity X>t- Pareillement, nous rem-
• • • • ••
placerons | (>' , 7]q ^ ^ q' par {^t — x |^) q' , etc. Ensuite, les
valeurs qu'on trouve pour % (t— x, a?' , y' , z' ), etc. doivent
être portées dans les formules (159) et (160), et ce qu'on
obtient pour /, g^ h, a, /î, / sera substitué à son tour dans les
équations (I') (§ 133). Il importe de remarquer que, dans ces
dernières, les lettres |, ?/, Ç indiquent précisément ce que nous
venons de représenter par |/, '^t, ^i» Il est donc permis de sup-
primer l'indice t; de plus, nous simplifierons en réunissant les
différents termes.
LA THÉORIK ELEGTKOMAGNETlQUfî DE MAXWELL. 1S3
On a, par exemple,
X=fQ [471 V^f-^^y-l:^'jd
et
où ^, ®, 35 sont les fonctions ^ {t — x, .t' , y' , 2' ), etc. qui se
trouvent déterminées par les formules (175) et (176).
Posons, pour abréger,
0
et indiquons par J\, J^, J3, J\ ce que deviennent ces in-
1 X
tégrales si on y remplace — par -. Alors
x=-
énV^
\IJ,+ [p_(|+|,)î_,î_Ç^] J^ -
-^ J', +
[2(I+P)I
S + 7 ^ + ç
q A
+ i^+p)vJ'2 + i^+p)^J\ ],
T=-
4nV^
V J',+ [{^+P)k +2 7,^ -4- C C] ^', +
>(177)
. + 7 ç «/; + ^7 $ ^'j
- ç !, + [d + p) I + ^z-J + 2 et] ^; +
184 H. À. LORKNTZ
10. Quelles sont maintenant les valeurs de J^J^^ etc.?
Dans le calcul des intégrales î^^'^' ^t I— ^dr', il y a
une difficulté: c'est que la lettre q indique la densité élec-
trique qui existe dans le point [x' ^y ,z') à Tinstant t — x.
Nous allons cependant transformer les expressions de façon
qu'elles contiennent seulement la densité relative au temps t.
Remarquons d'abord que, sans changer la valeur des inté-
grales, on peut prendre pour origine des coordonnées le point
{x, y, z) pour lequel elles doivent être calculées ; de plus, pour
une raison qu'on comprendra bientôt, j'écrirai a?", y", 0" au lieu
de X ,y y z et d x" au lieu de dx , Alors :
^ = V^p-^^ ^"' + 2/"' +^"' (178)
X px;
//
(179)
v^yi^p^ v^ — p'^ ' ' '
et il s'agira des intégrales
j(dT" et f'^dr" (180)
Supposons que le point qui, à l'instant t-x, a les coor-
données x'\ y'\ z" prenne part au mouvement vibratoire de la
particule, et nommons x\ y\ z' ce que sont devenues les coor-
données à l'instant L Le mouvement pouvant" être regardé
comme uniforme pendant le temps x, on a:
a;' = ic''.t.x|, y' = /-f-x^, 2' = / + xÇ .... (181)
Ici, les rapports
X I XJ/ X C
x'' ' y'' ' ?"
sont du même ordre de grandeur que
F' F ' V
(182)
on en pourra donc négliger les puissances supérieures à la
première. Mais, alors, on peut, dans les relations (181), entendre
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 185
par X ce que la foiictioii (179) devieut si on y remplace x'\
y\ 7!' par x, y\ z'.
Les points qui, à Tinstant t — x, se trouvèrent dans un élément
dx'\ situé au point {x!\y'\7!'\ se trouveront, à l'instant iy
dans un élément de volume d r', situé au point (a', y', 2').
Or, d'après un théorème bien connu,
Zt!' Zy" Zt!' I
d^_ Z^ dj^ Dz^ I
dx'' 0/ D^' 1
équation qu'on peut mettre sous la forme
parce que
Da:' ~^ ^Da;' ' d y' ^~^dy' ' ^^'''
et que
j. 0 X D X
Ç r-7 , Ç ;^— / , etc.
ox oy
sont du même ordre que les expressions (182).
11. Ceci établi, les intégrales (180) peuvent être transfor-
mées en d'autres auxquelles chaque élément dx contribue
pour un terme. Seulement, dans les premières intégrales, il
fallait entendre par - et — les fonctions de x"^ y^'^ z" qu'on
déduit des équations (178) et (179). Si on veut indiquer par
ces signes les fonctions analogues de x', y', z', il faut remplacer
1 , X
- et - par
et
186 H. A. liORENTZ.
T~'*^3|-(?)-'''ô7(f)-"^Dy(?)-
Quant à q\ cette densité est évidemment égale à celle qui
existe dans le point {x'y y', z') à Tinstant t.
On finira par trouver, pour les intégrales (180), qui ont été
primitivement représentées par
j±.dr-etf^dT', (183)
les formes suivantes:
et
/'•■[ï-^-^'(F)-'07'(f)-tè(F)]'"'^«^'
et cela restera encore vrai si, en revenant à une origine des
coordonnées quelconque, on entend par a?, i/, z les coordonnées
du point pour lequel on veut calculer i ^ d r', etc. et par x ^
y\ i celles du point où se trouve Pélément d t .
Je simplifierai encore en négligeant des termes de Tordre
f^^ . Alors, t se confond avec la distance r des points (a*, y, z)
et (x, y\ z'),
. — La- ^(^ -1
et les expressions (184) et (185) deviennent
et
y [-,
J_ z-z' 2p}
]dr'.
LA THÉORIE ELECTROMAGNÉTIQUK DE MAXWELL. 187
En remplaçant ici q' par ~ , --V i :^ , on trouvera ce
^ ^ ^ ^ ex dy d z ^
qui, dans les formules pour /,, Ij» ®^c- ®st désigné par
En effet, ces dernières expressions peuvent être transfor-
mées de la même manière que les intégrales (183), et cela,
parce que les dérivées de la densité par rapport aux coordon-
nées ont, dans le point {x\ y\ z') et à Tinstant ^, les mêmes
valeurs qu'elles avaient au moment i — x, dans le point [pc!\ y'\ z").
12. Le calcul de J,, Jj, etc. est ainsi ramené à celui des
Intégrales
ffçç'dTd r', JI?J' dvdr', ffç (,' ^-|, (j^) d T d c', etc.
Ici, les signes q et q indiquent les densités électriques,
relatives toutes les deux au même instant t et existant dans
les points {x, j/, z) et (x\ y\ z' ) de la particule. Tout ce qui dépend
du mouvement de cette dernière a disparu et les valeurs des
intégrales sont entièrement déterminées par la manière dont
la charge est distribuée. De plus, plusieurs des intégrales
s'annulent, puisque cette distribution est symétrique tout autour
du centre. En eflfët, si ce dernier point est pris pour
origine des coordonnées, q et q' seront des fonctions paires de
X, y, z et de x\ y\ z' et une intégrale dans laquelle q q se
trouve multiplié par une fonction impaire de x — x\ y — y\
z — z' s'évanouira. Au contraire, vu que r-^ est une fonc-
^ dx
tion impaire de x\ une intégrale qui contient q -—, ne diffé-
i) X
rera de 0 que lorsqu'elle contient encore un facteur qui est
une fonction impaire de a: — x.
Voici maintenant les valeurs des intégrales, en tant qu'elles
ne s'annulent pas. On a posé
n
T^j V^^ ~^' jçcodr = |ti,
^
188 H. A. LORENTZ.
et il faut se rappeler que chaque combinaison de deux éléments
dr et dr doit être prise deux fois.
j j Q q' dr dr :=ze^y
+ J j e 9 — yz — »^"^ =3i»^V.
lb'é'-^^'^''—lh'wi~)
d T d r' =
8
3
= _°^ FV,
Ih^'-^^'^-'-lhl}
— ■ ■ - a r a T =
= — 3 TT F V-
De ces formules on déduit
J^ = 0, J3 =0, JT^ =0,
J2 = — g TT (I 4- p) |Ii, J3 = — g-TT ^ ^, J4 =— ^ TT C j«i.
13. Reste à substituer ces valeurs dans les formules (177). Je
remplacerai L par 4 tt F^ et je considérerai en premier lieu
Ç Ç (x—x'V
^) L'intégrale \ \ u q' 3— dxdr' est évidemment égale aux inté-
grales analogues qui contiennent {y—y'Y et {z—z')^ et, par conséquent, à
la troisième partie de | j — d r rf r/.
LA THÉORIE ÉLECTROMAGNÉTIQUE DE MAXWELL. 189
la partie de X qui ne contient pas p. Les termes — î J, et
■ ■
-h 5 «''i deviennent
47rPÏ^-h y^, (186)
ce qui est précisément l'expression (111). Les termes, au
contraire, qui dépendent de Jj, J3 et J\ sont insensibles. Le
16
premier, par exemple, est — tt |* S^tt, ce qu'on peut négliger
o
en présence de 4 tt F^ 5 ^t.
Quant aux termes en p^ il faudrait conserver sans doute
ceux qui sont comparables au produit par -^ de l'expression
(186), c'est-à-dire des quantités du même ordre que
pYÏ^ et ?-if\
Mais, dans la formule pour X, la vitesse p ne se trouve
multipliée que par des facteurs comme
On peut donc se borner à la valeur (186), et on trouvera
des expressions analogues pour T et Z«
Leide, Juin 1892.
190 H. A. LORBNTZ. LA THEORIE ELECTROMAGNETIQUE, ETC.
Table des matières.
Introduction p. 1 .
Chap. I. Mouvements électriques dans des corps qui se trouvent
en repos ' 11 .
// II. Phénomènes électromagnétiques dans des corps qui se
tiouvent en mouvement et qui entraînent l'étlier contenu
dans leur intérieur // 47.
0 III. Kxamen d'une hypothèse qui a été faite aux chapitres
précédents // 50 .
» IV. Théorie d'un système de particules chargées qui se dé-
placent à travers l'éther sans entraîner ce milieu // 70.
» V. Applications de la théorie précédente » 93.
tf VI. Propagation de la lumière dans un diélectrique pondé-
rable qui se trouve en repos // 112.
// VII. Propagation de la lumière dans un diélectrique pondé-
rable qui se trouve en mouvement a 136.
Note additionnelle // 166.
"«#
CORRECTIOK.
Dans la note du paragraphe 50:
An lieu, de trois derniers lisez quatre derniers
* V
.J-" • '^
^r
Live Music
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Metropolitan Museum
Cleveland
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Console Living Room
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American
Libraries
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Understanding
9/11